Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1."— Zapis prezentacji:

1 Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1

2 Literatura Emil Slavicek, Technika obliczeniowa dla chemików Anthony Ralston, Wstęp do analizy numerycznej Karol Machej, Elementy programowania w języku BASIC i Pascal, skrypt 1833 William Volk, Statystyka stosowana dla inżynierów

3 BŁĘDY OBLICZENIOWE 1.Błąd zaokrąglenia 2.Błąd metody 3.Błąd obcięcia

4 1. Błąd zaokrąglenia Dokładnie można przedstawić tylko liczby całkowite i wymierne. Liczby niewymierne zawsze zapisujemy z błędem bo używamy skończonej ilości cyfr. Przykład Używając 5 miejsc znaczących Popełniamy błąd zaokrąglenia

5 2. Błąd metody Jego przyczyna leży w niedoskonałości metod obliczeniowych, które aby dać dokładny wynik wymagają: Użycia nieskończonej ilości składników, np. rozwinięcie w szereg Taylora o nieskończonej ilości wyrazów albo Zastosowania nieskończenie małe przyrostów. Praktyczne zastosowanie wymaga użycia skończonych wielkości.

6 2. Błąd metody przykład Obliczyć pochodną w punkcie x = 0,4 ixixi yiyi 10,10,01 20,20,04 30,30,09 40,40,16 50,50,25 60,60,36 70,70,49 80,80,64 Wynik dokładny to 0,8 Błąd wynosi 0,1 = x, metoda jest I-go rzędu

7 2. Błąd metody Rozwinięcie w szereg Taylora w przedstawionej wcześniej metodzie ograniczono się do k=1 n = 1, h = x, x = x i, x+nh = x i+1

8 2. Błąd metody Dokładniejszy wzór uzyskamy stosując 3 wyrazy w rozwinięciu w szereg Taylora (k=2)

9 2. Błąd metody Stosując zapis skrócony: Stosując powyższy wzór do przykładu

10 3. Błąd obcięcia Dotyczy iteracyjnych metod obliczeniowych (w których do rozwiązania zbliżamy się powtarzając obliczenia) Do wyniku dokładnego w metodach iteracyjnych dochodzi się po nieskończonej ilości powtórzeń a praktycznie obliczenia trzeba w pewnym momencie zakończyć.

11 3. Błąd obcięcia Przykład: znaleźć pierwiastek równania i = i +1 x wynik

12 Związany jest z niedokładnymi wskazaniami przyrządów pomiarowych Każdy przyrząd pomiarowy ma określoną dokładność nazwaną klasą dokładności. Błąd E wskazań przyrządu oblicza się mnożąc skalę S przez klasę K i dzieląc przez Błąd systematyczny

13 Przykład: manometr ma zakres 250bar i klasę 2,5. W jakich granicach mieści się zmierzone za jego pomocą ciśnienie Oznacza to, że jeżeli manometr wskazał ciśnienie 100bar to rzeczywiste ciśnienie mieści się w przedziale

14 ALGORYTM Algorytm jest to jednoznaczny przepis pozwalający na wykonanie postawionego zadania. Ma następujące cechy: 1. Określoność 1. Określoność – nie ma w nim dowolności, czyli przypadkowego postępowania 2. Ogólność 2. Ogólność – pozwala rozwiązać klasę zadań a nie tylko jedno szczególne zadanie. Np. za algorytm można uznać przepis na sumowanie dwóch liczb a nie taki, który dodaje 2 i Efektywność 3. Efektywność – oznacza, że po wykonaniu skończonej i możliwie najmniejszej ilości operacji otrzymuje się poprawny wynik DEFINICJA

15 Schemat blokowy Schemat blokowy to graficzny obraz struktury algorytmu. Składa się z określonych (znormalizowanych) znaków i symboli graficznych (tzw. bloków) połączonych liniami. Kolejność wykonywania określają linie łączące bloki, od góry na dół i od lewej do prawej, chyba że strzałki stanowią inaczej. Pierwszym elementem jest zawsze blok START, a ostatnim KONIEC. Operacje wykonywane w danym elemencie wpisuje się wewnątrz bloku. DEFINICJA

16 Podstawowe elementy Schematów Blokowych Początek, koniec schematu Przetwarzanie danych Operacje wejścia, wyjścia (np. druk) Blok decyzyjny. Wybór jednej z dróg w zależności od spełnienia warunku Łączniki: stronicowy i międzystronicowy Proces uprzednio zdefiniowany, podprogram

17 Zadanie przykładowe: obliczanie wartości dowolnej funkcji liniowej dla różnych wartości zmiennej niezależnej 1.Wprowadzić współczynniki a i b równania liniowego 2.Wprowadzić wartość zmiennej niezależnej x 3.Obliczyć y = ax+b 4.Wydrukować y 5.Zapytać czy kontynuować obliczenia dla nowych x 6.Jeżeli odpowiedź to tak wtedy powrót do punktu 2 7.Koniec

18 Czytaj: a, b y = ax + b Drukuj: y Drukuj: czy liczyć dalej?(t/n) Czytaj: O O = t tak Czytaj: x start koniec

19 Program w BASICu 10 INPUT a, b 20 INPUT x 30 y = a*x+b 40 PRINT y 50 PRINT "Czy liczyć dla nowego x (t/n)" 60 INPUT O$ 70 IF O$ = "t" THEN GOTO PRINT "Czy liczyć dla nowych parametrów a,b (t/n) 90 INPUT O1$ 100 IF O1$ = "t" THEN GOTO END

20 Wykorzystanie Visual Basica z Excela Wprowadzenie danych: Z komórek arkusza zmienna=ActiveCell.Value Zmienna=Range(AdresKomórki) Z okienka wprowadzania danych Zmienna=InputBox(opis okienka)

21 Wykorzystanie Visual Basica Wyprowadzanie wyników Do komórki arkusza ActiveCell.Value= zmienna Range(AdresKomórki)= Zmienna W okienku wiadomości MsgBox(Zmienna)

22 Wykorzystanie Visual Basica Dodatkowe możliwości funkcji MsgBox MsgBox(prompt[, buttons] [, title] [, helpfile, context])

23 Wykorzystanie Visual Basica 5 a = InputBox("podaj a") b = InputBox("podaj b") 10 x = InputBox("podaj x") y = a * x + b odp = MsgBox(y, 5, "wynik") If odp = 4 Then GoTo 10 odp1 = MsgBox("czy liczyć dla nowych parametrów?", 1, "pytanie:") If odp1 = 1 Then GoTo 5

24 Wykorzystanie Visual Basica Zmienne Oznaczenia Litery (A, B itp.) Wyrazy (ilosc, masa itp.) Kombinacje liter i cyfr (A1, c3 itp.) Kilka wyrazów połączonych (NazwaZbioru, srednica_wew itp.)

25 Wykorzystanie Visual Basica Zmienne Typy Single, E-45 do E38 (+/-) 32bity Double, E-324 do E308 (64 bity) Boolean, false, true Byte, 0 to 255 Integer, -32,768 to 32,767 Long -2,147,483,648 to 2,147,483,647

26 Wykorzystanie Visual Basica Zmienne Definiowanie Dim NazwaZmiennej As TypZmiennej Dim NazwaZmiennej(il_w, il_kol) As TypZmiennej

27 Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej Algorytmy iteracyjne

28 Algorytmy iteracyjne - definicja Jest to klasa algorytmów, w których występuje powtarzanie pewnych kroków obliczeń w wyniku czego otrzymuje się rozwiązanie z dokładnością rosnącą wraz z liczbą powtórzeń. Całkowicie dokładny wynik uzyskuje się po nieskończonej liczbie powtórzeń (iteracji).

29 Przykład – algorytm obliczania pierwiastka liczby N>0

30 Wzór iteracyjny: Obliczyć pierwiastek z 9. Jako pierwsze przybliżenie przyjąć x 0 = 6.

31

32

33 Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych Rozważmy zadanie typu: Pierwszy krok to przekształcenie do postaci Z której wynika: Od kolejnych wartości x k oczekuje się by spełniały warunek: rozwiązanie dokładne

34 Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych Inaczej można to wyrazić wzorem: Aby algorytm można uznać za algorytm iteracyjny to przekształcenie Musi dawać zbieżny ciąg wartości x k.

35 Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych Warunek zbieżności wyrażony za pomocą błędu k-tego kroku

36 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego Rozwijając funkcję F(x) w szereg Taylora wokół punktu x k na promieniu h = e k można wyprowadzić zależność na zmianę błędu w kolejnym kroku. Z definicji błędu: Związek miedzy e k+1 i e k

37 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego Z definicji przekształcenia iteracyjnego: Podstawiając do rozwinięcia w szereg:

38 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego Wprowadzając oznaczenie: Zakładając, że e k jest bardzo małe znaczenie ma ten wyraz, dla którego parametr b jest różny od 0 przy najmniejszej potędze e k Z praktycznego punktu widzenia rozpatruje się tylko potęgi od 1 - 3

39 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego 1. Jeżeli b 1 0, błędy w dwu kolejnych krokach wiąże zależność liniowa: Iteracja pierwszego rzędu 2. Jeżeli b 1 = 0 i b 2 0, błędy w dwu kolejnych krokach wiąże zależność paraboliczna: Iteracja drugiego rzędu

40 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego 3. Jeżeli b 1 = 0 i b 2 = 0 a b 3 0, błędy w dwu kolejnych krokach wiąże zależność:Iteracja trzeciego rzędu Ponieważ e k <1 to im większy rząd metody tym jest ona szybciej zbieżna

41 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego w zależności od jego rzędu Aby proces iteracyjny był zbieżny dla dowolnego kroku k większego od pewnego kroku p musi być spełniony warunek: 1.Proces pierwszego rzędu lub

42 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego W przypadku metod rzędu I-go jedynym warunkiem zbieżność jest by moduł pochodnej F(x) w punkcie startowym był mniejszy od 1.

43 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego 2. Proces drugiego rzędu obliczenia mogą nie być zbieżne! W warunku zbieżności występuje wartość błędu. Ponieważ jest ona nieznana nie dla wszystkich punktów startowych będzie on mniejszy od granicznego e p dlatego obliczenia mogą nie być zbieżne! lub

44 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego 3. Proces iteracyjny trzeciego rzędu Podobnie jak w przypadku II-go rzędu osiągnięcie zbieżności zależy od przyjętego punktu startowego

45 Praktyczny warunek zakończenia obliczeń Ponieważ rzeczywista wartość błędu jest nieznana jako warunek kończący obliczenia przyjmuje się zależność opartą o różnicę rozwiązania obliczonego w dwóch kolejnych krokach - założona wartość określająca dokładność obliczeń Wykorzystuje się ją w algorytmie, do sformułowania warunku kończącego pętlę iteracyjną

46 Schemat blokowy algorytmu obliczania pierwiastka kwadratowego liczby. start x 0 = x 1 Czytaj N, x 0 |x 1 -x 0 | Drukuj x 0 koniec

47 Związek między i e. Ile wynosi błąd w momencie zakończenia obliczeń iteracyjnych? Iteracja pierwszego rzędu:

48 Związek między i e. Jeżeli b 1 jest bliskie 1 to błąd jest znacząco większy. Np. dla b 1 = 0,9

49 Związek między i e. Iteracje wyższych rzędów Z warunku zbieżności: Można zaniedbać w różnicy

50 Związek między i e. Dla iteracji wyższych błędów rzeczywisty błąd obliczeń e k jest zwykle co najmniej o rząd wielkości mniejszy od parametru decydującego o zakończeniu obliczeń.


Pobierz ppt "Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google