Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Przepis na ciąg Klub Gimnazjalisty 07.01.2008 1.Słów kilka tytułem wstępu. 2.Kilka pojęć (i definicji). 3.Jeden ciąg (a w zasadzie jego fragment) - dwa.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Przepis na ciąg Klub Gimnazjalisty 07.01.2008 1.Słów kilka tytułem wstępu. 2.Kilka pojęć (i definicji). 3.Jeden ciąg (a w zasadzie jego fragment) - dwa."— Zapis prezentacji:

1 Przepis na ciąg Klub Gimnazjalisty Słów kilka tytułem wstępu. 2.Kilka pojęć (i definicji). 3.Jeden ciąg (a w zasadzie jego fragment) - dwa przepisy. 4.Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu. TABLICA RÓŻNIC ŚCIANA LICZB 5.Coś dla rozluźnienia. 6.Ciągi w szkole.

2 Ciąg mat. jednoznaczne przyporządkowanie zbiorowi liczb naturalnych elementów dowolnego zbioru, np. liczb, punktów, funkcji; oznacza się go: a 1, a 2,..., a n,... lub {a n }, lub też (a n ) MTPOCKMTPOCK Zbiór liczb naturalnychZbiór SMAKÓW

3 Ciąg liczbowy ciąg, którego wyrazami są liczby. Zbiór liczb naturalnych Zbiór potęg kolejnych liczb naturalnych

4 Wypisanie wyrazów ciągu to jeden ze sposobów określania ciągów. Inne sposoby to: podanie wzoru na ogólny wyraz ciągu, Przykład: a n = 3 n – 2 n podanie wzoru rekurencyjnego. Rekurencja lub rekursja (łac. recurrere – przybiec z powrotem) – to w matematyce i programowaniu odwołanie się do samej siebie. Każda definicja rekurencyjna potrzebuje przynajmniej jednego przypadku bazowego (nie rekurencyjnego). Wzór rekurencyjny – taki przepis, który mówi jak z A otrzymać B, a z B otrzymać C i tak w nieskończoność. Wzór rekurencyjny pozwala obliczyć wyraz ciągu na podstawie jednego lub kilku wyrazów poprzedzających go. Przykład: a 1 = 1 a n = a n ,

5 Przykład 1. Jaki jest następny wyraz w ciągu: 3, 5, 7, …? Przepis 1 9 – są to kolejne liczby nieparzyste różne od 1 Przepis 2 11 – są to kolejne liczby pierwsze różne od 2

6 Przykład 2. Profesor Hugo Steinhaus zachęcał swoich uczniów do badania własności ciągu: 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, … Przepis 1 (przepis ten można znaleźć w książce 100 zadań) Kolejny wyraz to 3. Pierwszą cyfrą jest 2, drugą 3, a kolejne są iloczynami dwóch poprzednich, z tym że w liczbie dwucyfrowej, cyfra dziesiątek i cyfra jedności stanowią kolejne dwa wyrazy ciągu. kolejne (czwarty i piąty) wyrazy ciągu to 1 oraz 8. Ciąg stworzony według tego przepisu ma więc postać: 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 8, 2, 4, 3, …

7 Przykład 2.cd. 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, … Przepis 2 (przepis mojego autorstwa wymyślony przed sięgnięciem do w/w książki) Kolejny wyraz to 8. Pierwszą cyfrą jest 2, drugą 3. Następnie mnożymy dwa poprzednie wyrazy. Postępujemy tak do momentu, kiedy otrzymamy iloczyn dwucyfrowy, wtedy spisujemy dwie ostatnie cyfry parzyste i znów wykonujemy iloczyn dwóch ostatnich cyfr. Podobnie jak w poprzednim przepisie liczba dwucyfrowa jest rozbijana na dwa wyrazy ciągu. Ciąg stworzony według tego przepisu ma więc postać: 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, 8, 2, 1, 6, 2, 6, 1, 2, 6, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 8, 3, 2, 8, 2,…

8 Przykład 3. Jaki jest następny wyraz ciągu: 1, 2, 4, 8, 16, …? Przepis 1 32 – są to kolejne potęgi liczby 2. Przepis 2 31 – dlaczego?

9 Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu. TABLICA RÓŻNIC Zobaczmy to na przykładzie wcześniejszego ciągu 1, 2, 4, 8, 16, 31, … Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu? Można by policzyć ilość obszarów, jakie otrzymamy w kole, zaznaczając na okręgu 7 punktów. To bardzo pracochłonne i wymagające cierpliwości ćwiczenie, a co dopiero, gdyby ktoś zechciał otrzymać 20–ty wyraz tego ciągu.

10 Szybkim (choć to oczywiście pojęcie względne) sposobem jest wspomniana już tablica różnic. Wypisujemy kolejne wartości naszego ciągu Pod nim wypisujemy kolejne różnice (wartość na każdej pozycji jest różnicą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią – prawa odjąć lewa) 1 1 Powtarzamy te czynności do momentu uzyskania w wierszu tych samych lub powtarzających się w określony sposób wartości (nie koniecznie jedynek!) - u nas wszystkie czwarte różnice są równe. Możemy przyjąć, że ten wzór będzie się powtarzał w nieskończoność. Dzięki temu dopisując kolejne jedynki i posuwając się do góry możemy odgadnąć następne wyrazy ciągu.

11 tablica różnic…

12 Prześledźmy tablicę różnic dla innego przykładu. Weźmy ciąg postaci: 1, 5, 13, 27, 48, 78, 118,… W ostatnim wierszu nie pojawiają się te same wartości, ale łatwo zauważyć, że są to na przemian wielkości 2 i 1. Można wiec znów przypuszczać, że tak będzie w nieskończoność i posuwając się w górę, policzyć kolejne wyrazy. A jaki jest przepis na ten ciąg

13 Weźmy teraz tzw. ciąg Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Stwórzmy tablicę różnic dla tego ciągu: W ostatnim wierszu, od pewnego momentu pojawia się ten sam ciąg – ciąg liczb Fibonacciego, znów można podejrzewać, że tak będzie w nieskończoność Jaki jest przepis na ciąg Fibonacciego? Dwa pierwsze wyrazy to jedynki. Każde kolejne wyrazy powstają jako suma dwóch poprzednich wyrazów. Jest to przykład tzw. reguły sznurowania.

14 Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu. ŚCIANA LICZB (inaczej tablica ilorazowo – różnicowa) Zobaczmy to na przykładzie ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu? Pierwszy wiersz ściany liczb to same jedynki Pod nim umieszczamy podejrzany ciąg Następne pozycje w tablicy oblicza się zgodnie z zasadą: dla każdej piątki sąsiednich liczb postaci: N W X E zachodzi X 2 = NS + EW S

15 W naszym przypadku mamy: a Jeśli pusty prostokącik oznaczymy przez a, zgodnie z powyższą regułą otrzymamy: stąd: Postępując tak dalej, otrzymamy tablicę postaci:

16 Postępując tak dalej, otrzymamy tablicę postaci: Otrzymaliśmy wiersz samych zer. Jeśli tak się dzieję, to wyjściowy ciąg faktycznie powstaje przez sznurowanie: każdy jego wyraz jest sumą określonych wielokrotności poprzednich k wyrazów, gdzie k jest liczbą pośrednich wierszy w ścianie (pomiędzy górnym wierszem jedynek, a dolnym wierszem zer). Podobnie jak w przypadku tablicy różnic, mogę dopisując w ostatnim wierszu zero i wracając – oczywiście zgodnie z zasadą – otrzymać kolejne wyrazy ciągu.

17 Postępując tak dalej, otrzymamy ścianę postaci: Oznaczmy prawe puste miejsce przez b i zapiszmy zależność b

18 Widzimy, że Ściana liczb wymaga trochę więcej pracy, aniżeli tablica różnic, ale nie są to skomplikowane rachunki, więc obie te metody warto czasem znać, by nie szukać kolejnego wyrazu ciągu na oślep.

19 Coś dla rozluźnienia. Przykład 1 Jaki jest następny wyraz ciągu: , , , ,…? Wyobraźmy sobie, że numery telefonów są dziesięciocyfrowe i nie muszą one zaczynać się w jakiś określony sposób (to trochę odbiega od rzeczywistości ). Jaki jest przepis na kolejne numery? Pierwszy numer wybieramy dowolnie, np.: Liczymy, ile razy w zapisie poprzedniego numeru występują cyfry 0,1,2,…9 (w tej kolejności), mamy więc: I dalej: , , Dlaczego?

20 Przykład 2 Jaki jest następny wyraz ciągu: Dlaczego? Wystarczy zaobserwować pewną ciekawą zależność: wyraz a n jest najmniejszą liczbą o tej własności, że jest to n – ta potęga sumy cyfr tej liczby. Szukamy więc liczby, która ma tę własność po podniesieniu do siódmej potęgi.

21 Przykład 3 Jaki jest następny wyraz ciągu: 2, 20, 22, 200, 202, 220, 222, 2000,…? Dlaczego? Mamy ciąg liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … Zapiszmy te liczby w systemie dwójkowym (używamy do tego potęg liczby dwa), a następnie wykonajmy pewne przekształcenie, które zobrazuje tabelka. 2002

22 Kolejne liczba naturalna w systemie dziesiętnym Przejście do systemu dwójkowego Kolejne liczba naturalna w systemie dwójkowym Poprzednia kolumna pomnożona przez 2 (mnożenie wykonujemy w systemie dziesiętnym)

23 Ciągi w szkole W szkole ponadgimnazjalnej poznacie przede wszystkim dwa rodzaje ciągów: Definicja. Ciąg nazywamy arytmetycznym, jeżeli różnica między dowolnym wyrazem i wyrazem go poprzedzającym jest stała. ciągi arytmetyczne ciągi geometryczne. Definicja. Ciąg nazywamy geometrycznym, jeżeli iloraz między dowolnym wyrazem i wyrazem go poprzedzającym jest stały (konieczne jest oczywiście założenie, że pierwszy wyraz musi być różny od zera). 3, 6, 12, 24, 48, … 7, 3, –1, –5, –9, –13, …

24 AHA, COŚ JESZCZE…

25 Jaki jest przepis na ciąg postaci: ?

26 n - ty wyraz ciągu, to n - ta litera w alfabecie polskim, tzn. a1 a1 = a, a2 a2 = ą, itd., więc:

27 dzięękuj


Pobierz ppt "Przepis na ciąg Klub Gimnazjalisty 07.01.2008 1.Słów kilka tytułem wstępu. 2.Kilka pojęć (i definicji). 3.Jeden ciąg (a w zasadzie jego fragment) - dwa."

Podobne prezentacje


Reklamy Google