Zliczanie III.

Prezentacja na temat: "Zliczanie III."— Zapis prezentacji:

1 Zliczanie III

2 Kombinacje z powtórzeniami
kolejność nieważna elementy mogą się powtarzać Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego wynosi UWAGA: Zauważmy, że mamy tutaj do czynienia z obiektem kombinatorycznym, który nie jest ani ciągiem, ani zbiorem – jest „zbiorem z powtórzeniami”. Przykład Ile jest kostek domina w zestawie, w którym największa liczba oczek na jednej połówce wynosi sześć ? Zbiór {0,1,2,3,4,5,6}, kolejność nie jest istotna, elementy mogą się powtarzać kostka (i,i)

3 Kombinacje z ograniczeniami
Ile jest k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru {y1,y2,..,yn}, w których liczba wystąpień elementu yi należy do zbioru Ai{0,1,..}, i=1,2,..,n ? Oznaczmy szukaną liczbę przez ak=ak(A1,…,An), wtedy funkcja tworząca ma postać: po wymnożeniu składnik można interpretować jako reprezentujący wybór i1 elementów typu y1 (pierwszy nawias) itd. Przykład: Załóżmy, że wszystkie Ai={0,1} – czyli mamy zwykłe kombinacje

4 nas interesuje współ. przy x6
Przykład Przykład: Ile rozwiązań równania x1+x2+x3=6 spełnia warunki x1,x2{0,1,2} i x3{2,3} ? Ile jest 6-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego {x1,x2,x3} takich, że x1,x2{0,1,2} i x3{2,3} nas interesuje współ. przy x6

5 Funkcje tworzące dwóch zmiennych
Jeśli Ak{0,1,...}{0,1..}, k=1,..,n, to liczba rozwiązań układu równań x1+x2+..+xn=r y1+y2+..+yn=s z ograniczeniami (xk,yk)Ak, k=1,..,n wyraża się wzorem coef ff(xrys) gdzie: Przykład: Na ile sposobów można rozdać pięciu dzieciom r czekoladek i s lizaków tak, aby żadne dziecko nie dostało więcej niż trzy lizaki ? Niech xk (yk) oznacza liczbę czekoladek (lizaków), które otrzymało dziecko k. Szukamy całkowitych i nieujemnych rozwiązań układu równań x1+x2+x3+x4+x5=r y1+y2+y3+y4+y5=s z ograniczeniami yk3, dla każdego k=1,..,5

6 Przykład Przykład cd.: x1+x2+x3+x4+x5=r
y1+y2+y3+y4+y5=s z ograniczeniami yk3, dla każdego k=1,..,5 czyli Ak={0,1,...,r}{0,1,2,3} dla k=1,..,n Przykład cd.: Każde dziecko oprócz jednego (np. ostatniego) ma dostać co najmniej dwa, ale nie więcej niż trzy smakołyki. Ostatnie dziecko ma dostać dokładnie cztery smakołyki odpowiedź zawiera współczynnik przy xrys