Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1."— Zapis prezentacji:

1

2 Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1

3 Poznaliśmy kilka wersji konstrukcji zbioru liczb całkowitych, Wiemy, że na pytanie ; należy odpowiedzieć pytaniem ; co to jest liczba ?, a o jaką liczbę chodzi ? Przypomnę, że najbliższy nam ( bo szkolny ) jest sposób jako liczby kardynalnej ( moc zbioru ). Pojęcia i działania na liczbach kardynalnych określenia liczby naturalnej oparte są na wszystkim znanej wiedzy z teorii zbiorów. Liczba naturalna ( całkowita, wymierna, rzeczywista ) jest to element tak określonego zbioru ; ………. i tu podajemy sposób jego zbudowania. Ze względów dydaktycznych zwrócę uwagę na jedną z konstrukcji zbioru liczb całkowitych C ( Z ) jako zbioru par odpowiednich liczb. i wymiernych W ( Q ), Gdy mamy bierzemyW tym zbiorze definiujemy relację „ ~ ” między parami liczb naturalnych która jest relacją „ ~ ” jest równoważnościową. naturalnych, wymiernych. 2

4 klasą abstrakcji ( warstwę ), oznaczamy i nazywamy liczbą całkowitą. Podzbiór par, które są w relacji z ( n, m ) nazywamy Zauważmy, że Oznaczmy zdefiniowaliśmy dodawanie i mnożenie : Na tych nowych liczbach ( klasach abstrakcji ) Własności tych klas, uzasadnią ci, którzy poznają algebrę ogólną ( abstrakcyjną ). Ten nowy zbiór gdzie nazywamy zbiorem liczb całkowitych. 3

5 zbiór ( tych nowych ) liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia. Te przykłady pozwalają przypuszczać, że poprawnie określiliśmy działania, ale trzeba uzasadnić, że wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów. która ten zbiór porządkuje w sposób dyskretny. Korzystając z umowygdzie można zdefiniować relację Łatwo wykazać, że Bierzemy dowolnych reprezentantów 4

6 W poprzedniej prezentacji pośród kilku konstrukcji Bierzemy W tym zbiorze definiujemy relację „ ≈ ” między parami liczb całkowitych zbioru liczb wymiernych ; poznaliśmy podobną do poprzedniej. Przypomnijmy. która jest relacją i dzieli zbiór tych parna klasy abstrakcji. Tak otrzymane klasy abstrakcji zapisujemy równoważnościową i nazywamy liczbami wymiernymi, na których zdefiniowaliśmy działania : Mamy zbiór liczb całkowitych. 5

7 Badając własności dodawania i mnożenia stwierdziliśmy, że zbiór liczb wymiernych tworzy strukturę ciała. z dodawaniem i mnożeniem Nasze doświadczenie w działaniach na ułamkach podpowiada, że wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów danych ułamków ( jak weźmiemy byle jakich reprezentantów to będziemy się męczyć z rachunkami ). porządkujemy go w sposób gęsty. Określając w zbiorze liczb wymiernych relację „ < ” Mam nadzieję, że śledzący moje prezentacje zauważyli, że w prezentacjach w których pokazuję konstrukcje zbiorów liczbowych, są luki, niekiedy brak precyzyjnych określeń, zwłaszcza pod koniec prezentacji. Ale na usprawiedliwienie zdradzę, że celem tych prezentacji jest pokazanie drogi ( nie patrząc pod nogi ) prowadzącej do obiektu, którym jest konkretny zbiór liczb. 6

8 A po precyzyjne konstrukcje zbiorów odsyłam do akademickich podręczników lub na studia. Podejrzewam, że przechodząc do konstrukcji Jak już wspomniałem, nie bez powodu na wstępie tej prezentacji przypomniałem szczególne sposoby budowania zbiorów liczb całkowitych i wymiernych. liczb rzeczywistych, ( jako, że ciągle zwracam uwagę na analogie w matematyce ) większość z was podpowie, by utworzyć zbiór par liczb wymiernych. Nie idźcie tą drogą ! Dlaczego ? Skąd mam wiedzieć, że ta droga nie doprowadzi do celu. Odpowiedź, nie bo nie, lub, bo w matematyce jest inna, nie wszystkich ( i słusznie ) satysfakcjonuje. Wskażmy jeden argument, prawie wszystkim znany. W Moc podstawowych zbiorów wykazaliśmy, że Zbiory te nazywamy przeliczalnymi. 7

9 Wtedy też posługując się zbiorami liczbowymi, wykazaliśmy twierdzenia, które uogólnimy na dowolne zbiory Suma mnogościowa, Iloczyn kartezjański zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. W wymienionej prezentacji uzasadniliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny ( nie można kolejno ustawić wszystkich liczb rzeczywistych ) ( alef 1 - moc continuum ) Z powyższych twierdzeń wynika, że zbioru liczb rzeczywistych ( mocy continuum ) nie można otrzymać jako zbiór par liczb wymiernych ( który jest przeliczalny ). Stąd wnosimy, że zbiór liczb rzeczywistych Przypomnijmy, że nazywamy zbiorem liczb niewymiernych, o raz należy zbudować inaczej niż całkowitych, czy wymiernych. Spróbujmy odwołać się do geometrycznej interpretacji liczb na osi liczbowej. ( liczb wymiernych jest „ mniej ” niż niewymiernych ). 8

10 Idąc naprzód, krok po kroku, Cofając się, t worząc „ poprzedniki ” i d zięki wstecznej indukcji otrzymujemy wszystkie liczby całkowite ujemne. otrzymując liczby naturalne przypomina nam się aksjomatyka Peany : rozpoczynamy od 0, potem „ następniki ” i zasada indukcji. Każdy odpowie nieskończenie wiele. Ile liczb wymiernych jest między liczbami 1 a 2 ? Nawet uczeń szkoły podstawowej potrafi wymienić ich dowolnie dużo, np. Których liczb jest więcej ; naturalnych, czy całkowitych ? Nie jest to intuicyjne, ale np. funkcja która jest różnowartościowa i uzasadnia, że zbiory są równoliczne ( przeliczalne ). NC - = C Między każde kolejne liczby całkowite „ wkładamy ” liczb wymiernych. nieskończenie wiele na 9

11 Między każde kolejne liczby całkowite „ wkładamy ” liczb wymiernych. nieskończenie wiele Nanieśmy liczby wymierne na oś liczbową ……………………………………………………………………………. ( czerwone punkty ). ……………………………………………………………………………. Czy liczb wymiernych jest więcej niż liczb całkowitych ? Między każde dwa zaznaczone kolejne czerwone punkty, nieskończenie wiele punktów. „ dołożyliśmy ” których jest nieskończenie wiele, Mam nadzieję, że każdy, kto zna poprzednie prezentacje, liczb całkowitych i wymiernych jest tyle samo ( co dowiedliśmy ). C W wbrew intuicji powie, że Co więcej, wykazaliśmy, że między każde dwa czerwone punkty ( liczby wymierne ) nieskończenie wiele czerwonych musimy „ wcisnąć punktów ( liczb wymiernych ). Czy cała oś będzie czerwona ?Czy będą „ dziury ” ? 10

12 Odpowiedzmy na dalsze pytania : Czy cała oś będzie czerwona ? Czy na osi są „ dziury ” ? Jeżeli są, jak jest ich dużo ? ……………………………………………………………………………. Wprawdzie odpowiedzi znamy, ale przypomnijmy uzasadnienia. Wskażmy „ dziurę ”. Zbiór X jest ograniczony z dołu, C W Niewiarygodne, ale prawdziwe, na pierwszej osi, czerwonych punktów ( liczb naturalnych ), jest tyle samo, co na drugiej ( liczb wymiernych ). Rozważmy zbiory : Jakie własności mają te zbiory ? Y ograniczony z góry. kres dolny zb. X ; kres górny zb. Y ; Już gimnazjaliści wiedzą, że nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat wynosi 5. Zatem, między tymi zbiorami jest luka, Takich luk jest niekończenie wiele ( tak jak liczb niewymiernych ). dziura. 11

13 Skoro w zbiorze liczb wymiernych,istnieją zbiory o wspomnianej własności to zażądamy, by w zbiorze liczb rzeczywistych takich zbiorów nie było. Ponieważ wspomniane „ luki ” na osi „ likwidujemy ”, własność tą nazywamy aksjomatem ciągłości. Teraz możemy przejść do konstruowania Przypomnijmy z prezentacji aksjomatykę zbiorów liczb Zbiór liczb zbioru liczb rzeczywistych. ( zbiory ograniczone z góry, nie mają górnych kresów ) „ dziury ”, „ zatykamy ”, 12 Wypiszmy wszystkie własności działań dodawania i mnożenia oraz relacji mniejszości. I. znane z edukacji matematycznej nawet na poziomie szkoły podstawowej.

14 ( Z, +, ∙, < ) D1D1 M1M1 M.D. M2M2 M3M3 M4M4 D2D2 D3D3 D4D4 grupa pierścień ciało N2N2 N1N1 N3N3 ciało uporządkowane N4N4 N.D. N.M.+ N.M.- 13

15 D1D1 - D 3 D4D4 M1M1 - M 3 M4M4 M.D. - N 3 N1N1 N.D. C N.M Sprawdźmy na którym sicie zatrzymają się kolejne zbiory. Przez wszystkie sita przeleciały trzy rozpatrywane zbiory. ? ????? ! W tym momencie warto przypomnieć pewne urządzenie, które nazwałem „ przesiewaczem ” dla zbiorów ( znanych z prezentacji ) z działaniami : Przydałoby się jeszcze jedno sito ( własność C ) przez które przeszedłby tylko zbiór liczb rzeczywistych. Przypomnijmy własność C zwaną aksjomatem ciągłości 14

16 C : Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny. Na podstawie naszych rozważań, stwierdzamy, że zbiór liczb spełniający powyższe warunki jest zbiorem liczb rzeczywistych, a liczba tego zbioru jest liczbą rzeczywista. Czy te nasze dociekania i wnioski są poprawne ? chyba wszyscy się z tym zgodzą, Opierając się na naszej matematycznej wiedzy i przykładach Spośród omawianych przez nas zbiorów, tylko zbiór liczb rzeczywistych spełnia omawiane przez nas własności. aksjomat ciągłości Dedekinda można sformułować inaczej. Mam nadzieję, że doświadczenie podpowiada nam, iż również zdefiniowaną przez Dedekinda czyli aksjomat ciągłości. Tą własność określamy wykorzystując pewne własności zbiorów : ograniczoność, ekstrema, kresy. polecam kilka slajdów ( 10 – 13 ) prezentacji Dla intuicyjnego przybliżenia pojęcia Zbiór liczb 15

17 Po tym przypomnieniu wszystkich warunków sformułujmy poprawnie matematycznie : i ograniczony z góry ma kres górny Zbiór liczb R z dwoma działaniami i relacją „ ≤ ” 1. ( R, +, ∙, 0, 1, ≤ ) jest ciałem uporządkowanym 2. aksjomat ciągłości : każdy niepusty podzbiór R, Jeszcze bardzo krótkie określenie : Zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy ciało. jest zbiorem liczb rzeczywistych. uporządkowane ciągłe. który ma strukturę algebraiczną spełniającą warunki : choć ci, którzy mają więcej wiedzy matematycznej, zauważą pewne nieścisłości. bądź są bardziej dociekliwi, Jeszcze raz usprawiedliwię się ; mają być inspiracją do matematycznych dociekań. te prezentacje Poszukajcie nieścisłości w poprzedniej wersji. Krótkie, ale występują nieznane nam pojęcia. 16

18 Przekrój wyznaczony parą zbiorów ( A, B ) oznaczamy [ A, B ]. można otrzymać, używając przekrojów Dedekinda, Równoważne sformułowanie aksjomatu ciągłości które definiujemy następująco : Szkic konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy przekrojów Dedekinda. że między jego elementami określona jest relacja Niech X będzie niepustym zbiorem takim, silnego porządku liniowego „ < ”, którą będziemy nazywać relacją mniejszości. II. Przekrojem Dedekinda zbioru X nazywamy parę zbiorów ( A, B ) taką, że A, B X oraz spełnione są następujące warunki: 1. A ≠ Ǿ, B ≠ Ǿ 2. A u B = X 3. jeżeli a є A i b є B to Zbiór A nazywamy klasą dolną, Przekrój Dedekinda określa liczbę rzeczywistą. a < b a zbiór B klasą górną przekroju 17

19 mnożenie ; ( przypadek jak wyżej ) porządek ; dodawanie ; Na tych przekrojach – liczbach określamy działania : oraz aksjomat ciągłości Dedekinda. Wykazuje się, że zbiór R z działaniami „ + ”, „ ∙ ” spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego i porządkiem „ < ” określonymi jak wyżej, 18 III. Szkic konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych przy pomocy ciągow Cauchy’ego liczb wymiernych. Do zrozumienia tego określenia liczb rzeczywistych, potrzebna jest wiedza o ciągach zbieżnych, którą można znaleźć w moich prezentacjach.

20 Niech Ƒ ( N, Q ) będzie zbiorem wszystkich odwzorowań zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych. ( ciągów o wyrazach wymiernych ). Ciąg liczb wymiernych nazywamy ciągiem Cauchy’ego, gdy Zbiór wszystkich ciągów Cauchy'ego, należących do oznaczmy symbolem W zbiorze wprowadźmy działania : Dla tych, którzy mają za sobą działania na ciągach, definicje te są oczywiste. 19 Po zbadaniu własności dodawania i mnożenia określmy relację „ ≤ ” :

21 Należy sprawdzić, że jest ona wprowadźmy relację „ ~ ” czyli jest relacją równoważnościową, i dziel i zbiór na klasy abstrakcji ( warstwy ), Zbiór tych klas ( warstw ) nazywamy przestrzenią ilorazową i oznaczamy go które zapisujemy oraz zależności tej relacji z dodawaniem i mnożeniem. Następnie w zbiorze ( ciągów Cauchy’ego ) Teraz w tej przestrzeni ilorazowej definiujemy działania. Mamy już w tym względzie doświadczenia, więc wiemy je określić. i przechodniasymetryczna zwrotna, 20

22 el. neutralny „ ∙ ” ciąg stale równy 1 porządek Należy wykazać, że w powyższych działaniach wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów. Właśnie przestrzeń ilorazowa dodawanie el. neutralny „ + ” – ciąg stale równy 0 el. przeciwny mnożenie Działania „ + ”, „ ∙ ” oraz własności : Okazuje się, że przestrzeń ilorazowa spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego i relacją „ ≤ ”z tak określonymi działaniam i jest zbiorem liczb rzeczywistych R.R. 21

23 Mówimy, że W ( Q ) zanurzyliśmy w R. Ciało liczb rzeczywistych zawiera podzbiór spełniający aksjomaty liczb wymiernych. który z działaniami i relacją „ ≤ ”, ( zbiór klas ciągów stałych ) Klasę równoważności ciągu stałego równej liczbie utożsamiamy z liczbą q є W.wymiernej q, Mamy już trzy wersje konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych. Poznajmy jeszcze jedną, tym bardziej, że podał ją polski matematyk A. Tarski IV. Aksjomatyka Tarskiego Alfred Tarski stworzył alternatywną, minimalistyczną aksjomatykę. Niech R będzie zbiorem, „ < ” relacją w R,. Niech 1 będzie stałą. „ + ” działaniem 22

24 spełniającego wraz z dodawaniem aksjomaty ciała.. Aksjomaty porządku 1. „ < " jest relacją asymetryczną Jeśli każda liczba rzeczywista ze zbioru X jest mniejsza od każdej liczby rzeczywistej ze zbioru Y, to istnieje liczba rzeczywista z większa od każdej liczby z X i mniejsza od każdej liczby z Y Aksjomaty dodawania Dla dowolnych x, y, istnieje z, takie że 6. Aksjomaty jedności W aksjomatach Tarskiego nie jest używane mnożenie. Udowodnił on jednak, że z tych aksjomatów wynika istnienie działania mnożenia, 23

25 Zainteresowało nas pytanie ; co to jest liczba ? mając na myśli którąś z ciągu 1, 2, 3,.... Wiemy, o czym mówimy, gdy prosimy o dwa jabłka. Ale samo „ dwa ” ? Konia z rzędem temu, kto nie będąc zawodowym matematykiem, potrafi dać sobie radę z definicją choćby najprostszych liczb naturalnych, Tak pouczał katechizm tajemniczego, bractwa pitagorejczyków. Liczba jest istotą wszystkich rzeczy. Pitagoras „ Bóg stworzył liczby naturalne twierdził L. Kronecker. Ale o liczbach,, przeróżnych '' warto czasem coś wiedzieć, tym bardziej, że - nie wiedzieć czemu - ten temat bywa najczęściej pomijany. w szkolnych podręcznikach matematyki twierdził L. Kronecker. G. Peano do skonstruowania liczb naturalnych potrzebował tylko pięć aksjomatów. inne są dziełem człowieka ”, 24

26 Ale wedle propozycji J. von Neumanna, jest bardziej ograniczona : a całą teorię liczb Bóg stworzył zbiór pusty ; rola Stwórcy budują matematycy. i te obiekty nazywamy liczbami Churcha. Zauważmy, że rozważane obiekty nie są bezpośrednio liczbami, Do konstrukcji liczby naturalnej Churcha, W 1930 r. A. Church poszedł jeszcze dalej narzędziem badawczym w matematyce. tzw. rachunek lambda, który jest niezwykle potężnym potrzebny jest argument x, funkcja f. ale można z nich skonstruować liczby naturalne, Wtedy Powróćmy do interesującego nas pytania, co to jest liczba ?, A. Church stworzył liczby naturalne, a dokładniej które stawiają już przedszkolacy ; 25

27 Proste, banalne pytanie ( wszyscy posługujemy się liczbami ) nie tylko przedszkolak.a odpowiedzi nie uzyska, A na bardziej konkretne pytanie ; co to jest liczba naturalna ( całkowita, wymierna, rzeczywista ), poznaliśmy kilka równoważnych wersji. W liceum wszyscy poznaliśmy ( nie zawsze zdawaliśmy sobie aksjomatykę zbioru liczb rzeczywistych. z tego sprawę ), W tej prezentacji ( już po raz drugi ), pokazałem „ przesiewacz ”, w oparciu o który „ okazało się ”, że „ tylko ” zbiór liczb rzeczywistych, spełnia postawione aksjomaty. Czy to rzeczywiście prawda ? Jak zwykle odpowiedź zależy od poziomu edukacji. Ponieważ często sięgamy po matematykę z górnej półki, przytoczę twierdzenie, które odpowiada na to pytanie. Istnieje ciało uporządkowane ciągłe. Jeżeli F 1, F 2 są dwoma takimi ciałami, to istnieje silnie rosnąca bijekcja f ; F 1 i F 2 taka, że 26

28 Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, Koniec prezentacji Z a p r a s z a m op.pl tel do następnej prezentacji, w której zapytamy ; co to jest liczba ? Postawiliśmy proste pytanie ; I nie tylko nie mamy odpowiedzi, lecz pojawiło się dużo dalszych problemów i pytań. Ale to nas nie dziwi. czy są inne liczby ? To twierdzenie, nie daje jednoznaczną odpowiedź na postawione pytanie, co więcej podpowiada, że takich zbiorów jest więcej ( ale zachodzą między nimi pewne zależności ) o czym będzie mowa na matematyce wyższej. 27


Pobierz ppt "Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google