TEORIA I ZASTOSOWANIA ANALIZY FALKOWEJ OBRAZÓW cz. I

Prezentacja na temat: "TEORIA I ZASTOSOWANIA ANALIZY FALKOWEJ OBRAZÓW cz. I"— Zapis prezentacji:

1 TEORIA I ZASTOSOWANIA ANALIZY FALKOWEJ OBRAZÓW cz. I
Prof. dr hab. Jan T. Białasiewicz

2 Analiza Falkowa W wielu zastosowaniach wykorzystuje się pełną analizę falkową. Dobrze znane są zastosowania do usuwania szumu z sygnałów czy też obrazów, będące elementem kompresji sygnałów. Duża ilość publikacji z zastosowań analizy falkowej występuje w dziedzinach oceanografii, geologii i geofizyki. Jednym z najbardziej popularnych sukcesów falek jest kompresja biblioteki odcisków palców FBI. W ciągu ostatnich 15 lat napisano kilka tysięcy artykułów. Ich podsumowanie jest zadaniem niemożliwym do wykonania. Niektóre dziedziny są wyjątkowo płodne. Jedną z nich jest medycyna. W zapisach EEG krókotrwały sygnał przejściowy jest ukryty w normalnym zapisie i trudny do wykrycia. Falki potrafią wykryć jego istnienie i lokalizację. Są próby stosowania falek do poprawy czytelności mamogramów w celu odróżnienia guzów od kalcyfikacji.

3 Analiza Fouriera Analiza Fouriera rozkłada sygnał na składowe sinusoidalne o różnych częstotliwościach. Możemy również powiedzieć, że przekształcenie Fouriera jest narzędziem matematycznym, przekształcającym reprezentację sygnału z dziedziny czsu na dziedzinę częstotliwości. Przekształcenie Fouriera ma jednak poważną wadę. Przy przejściu z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości traci się informację względem czasu. Patrząc na transformatę Fouriera sygnału nie jesteśmy w stanie określić chwili, w której miało miejsce konkretne zdarzenie.

4 Analiza Fouriera Jeśli własności sygnału nie zmieniają sie w sposób istotny – to znaczy wówczas, gdy możemy go nazwać sygnałem stacjonarnym – wada ta nie jest bardzo istotna. Jednakże większość interesujących sygnałów posiada liczne cechy niestacjonarne lub przejściowe: dryft, trendy, nagłe zmiany, początki i końce zdarzeń. Te cechy stanowią często najistotniejszą część sygnału i analiza Fouriera nie nadaje się do ich wykrywania.

5 OKIENKOWA ANALIZA FOURIERA
W celu usunięcia tej wady, Dennis Gabor (1946) przystosował transformatę Fouriera do sekwencyjnej analizy niewielkich części sygnału – metoda znana jako okienkowanie (windowing) sygnału. Technika Gabora, zwana okienkową transformatą Fouriera (Short-Time Fourier Transform (STFT)), przekształca sygnał na funkcję dwóch zmiennych: czasu i częstotliwości.

6 OKIENKOWA ANALIZA FOURIERA
STFT jest rodzajem kompromisu między reprezentacją sygnału w dziedzinie czasu i w dziedzinie częśtotliwości. Dostarcza ona informacji zarówno o czasie jak i częśtotliwości występujących w sygnale zdarzeń. Jednakże dokładność tej informacji jest ograniczona i jest określona szerokością okna. Jakkolwiek kompromis między czasem i częstotliwością wprowadzony przez STFT może być użyteczny, to jednak pozostaje wada stałej szerokości okna czasowego dla wszystkich częstotliwości. Wiele sygnałów wymaga znacznie elastyczniejszego podejścia, pozwalającego na dokładniejsze określenie czasu lub częstotliwości.

7 Analiza Falkowa Analiza falkowa umożliwia stosowanie długich przedzialów czasowych jeśli chcemy uzyskać dokładniejszą informację o składowych niskoczęstotliwościowych i krótszych przedziałów, gdy istotna jest informacja o składowych wysokoczęstotliwościowych sygnału.

8 Analiza Falkowa Porównanie analizy falkowej z reprezentacją sygnału w dziedzinie czasu, dziedzinie częstotliwości oraz za pomocą okienkowej transformaty Fouriera.

9 Analiza Falkowa Jak można było zauważyć analiza falkowa nie wykorzystuje dziedziny czas-częstotliwość, ale raczej dziedzinę czas-skala. Więcej informacji o pojęciu skali i relacji skala-częstotliwość przedstawimy dalej. Najważniejszą zaletą analizy falkowej jest zapewnienie mozliwości dokonania analizy lokalnej – to znaczy możliwości wykonania analizy zlokalizowanego fragmentu większego sygnału.

10 Czego można oczekiwać od analizy falkowej?
Analiza falkowa pozwala odkryć te cechy danych, ktore nie mogą być wyodrębnione innymi metodami. Są to takie cechy jak trendy, punkty nieciągłości, nieciągłości wyższych pochodnych i samopodobieństwo. Ponadto, ponieważ zapewnia ona inną prezentację danych niż tradycyjne techniki, analiza falkowa pozwala często dokonać kompresji danych lub usunięcia szumu bez istotnej straty informacji.

11 Co to jest analiza falkowa?
Teraz, kiedy już znamy przypadki, w których użyteczna jest analiza falkowa, warto zadać pytanie „Co to jest analiza falkowa?”, albo nawet pytanie bardziej podstawowe „Co to jest falka?” Falka jest falą o praktycznie ograniczonej długości i o zerowej wartości średniej. Porównajmy falki z sinusoidami stanowiącymi bazę rozwinięcia Fouriera. Sinusoidy nie są ograniczone w czasie – bigną od minus do plus nieskończoności. Ponadto, podczas gdy sinusoidy sa gładkie i dokładnie określone, falki są nieregularne i asymetryczne.

12 Co to jest analiza falkowa?
AnalizaFouriera prowadzi do rozłożenia sygnału na składowe sinusoidalne o różnych częstotliwościach. Podobnie, analiza falkowa rozkłada sygnał na składowe będące odpowiednio przesuniętą i przeskalowaną falką podstawową (lub falką-matką). Wystarczy wizualnie porównać falki i sinusoidy, żeby intuicyjnie stwierdzić, że sygnały z raptownymi zmianami mogą być lepiej analizowane za pomocą nieregularnej falki niż za pomocą gładkiej sinusoidy. Jest również oczywiste, że cechy lokalne mogą być lepiej scherakteryzowane przez falki, które mają lokalny zasięg.

13 Transformata Fouriera i transformata falkowa

14 Transformata Fouriera i transformata falkowa

15 Skalowanie Skalowanie falki po prostu oznacza jej rozciąganie lub kompresję.

16 Skalowanie Współczynnik skali spełnia identyczną rolę w przypadku falek. Mniejszy współczynnik skali odpowiada bardziej „ściśniętej” falce.

17 Przesuwanie

18 Wyznaczanie transformaty falkowej w pięciu prostych krokach
Transformata falkowa ciągła jest sumą względem czasu iloczynów sygnału oraz przeskalowanych i poprzesuwanych postaci falki. Ten proces generuje współczynniki falkowe, które sa funkcją skali i przesuniecia na osi czasu. Wyznaczanie transformaty falkowej ciągłej (TFC) jest bardzo prostym procesem i moze być zrealizowane w pięciu krokach według prostego przepisu. Zwróćmy uwagę, że wyniki będą zależały od falki, którą wybierzemy.

19 Wyznaczanie transformaty falkowej ciągłej w pięciu prostych krokach
Weź falkę i porównaj ją z początkowym fragmentem analizowanego sygnału. Wyznacz liczbę, C, reprezentującą stopień korelacji falki z tym fragmentem sygnału. Im większe jest C, tym większe jest podobieństwo. Mówiąc ściślej, dla sygnału i falki o energii jednostkowej, C może być interpretowane jako współczynnik korelacji.

20 Wyznaczanie transformaty falkowej ciągłej w pięciu prostych krokach
3. Przesuń falkę w prawo i powtórz kroki 1 i 2 aż do uzyskania całkowitego pokrycia sygnału w przedziale analizy.

21 Wyznaczanie transformaty falkowej ciągłej w pięciu prostych krokach
Zmień skalę(rozciągnij) falki powtórz kroki od 1 do 3. Powtórz kroki od 1 do 4 dla wszystkich wartości skali. Zauważmy, że im większa skala tym dłuższy fragment sygnału pokrywa (rozciągnięta) falka.

22 Wyznaczanie transformaty falkowej ciągłej w pięciu prostych krokach (Interpretacja)
Jak rozumieć te współczynniki?

23 Skala i częstotliwość Graficzne przedstawienie współczynników transformaty falkowej ciągłej jest reprezentacją sygnału w dziedzinie czas-częstotliwość. Jest ona inna niż okienkowa reprezentacja Fouriera w dziedinie czas-częstotliwość, ale nie są to reprezentacje zupełnie różne. Zauważmy, że skala w reprezentacji graficznej współczynników (pokazane na osi y) zmienia się od 1 do 31. Przypomnijmy, że większe wartości skali odpowiadają falkom bardziej „rozciągniętym”. Im bardziej rozciągnięta falka, tym dłuższy przedział sygnału, z którym jest porównywana, a zatem bardziej zgrubne są cechy sygnału reprezentowane przez uzyskane współczynniki falkowe.

24 Skala i częstotliwość

25 Skala naturalna Ważne jest zrozumienie iż fakt, że analiza falkowa nie daje nam czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnału nie jest wadą, a jest raczej zaletą tej techniki. Reprezentacja danych w dziedzinie skala-częstotliwość jest nie tylko inną ich reprezentacją, ale jest to bardzo naturalne spojrzenie na dane, które wywodzi się z olbrzymiej ilości zjawisk naturalnych. Spójrzmy na krajobraz księżycowy, którego nierówna powierzchnia (przedstawiona poniżej) jest wynikiem bombardowania przez meteory na przestrzeni setek tysięcy lat, meteory o przeróżnych rozmiarach, od gigantycznych głazów do drobnego piasku. Jeśli wyobrazimy sobie tę powierzchnię w przekroju, jako sygnał jednowymiarowy, możemy go wówczas traktować jako sygnał składający się z wielu elementów czy też składowych o różnych skalach – duże cechy powstały w wyniku uderzeń wielkich meteorów, a mniejsze cechy zostały wyrzeźbione przez małe meteory.

26 Skala naturalna Mamay tutaj ilustrację przypadku, w ktorym pojęcie skali jest bardziej naturalne (i daje sensowniejszy opis) niż pojęcie częstotliwości.

27 Na czym polega ciągłość ciągłej transformaty falkowej (CTF)?
Jakiekolwiek przetwarzanie sygnału za pomocą komputera przy użyciu danych rzeczywistych musi być wykonane na sygnale dyskretnym. CTF może być wyznaczona dla dowolnej skali, poczynając od skali sygnału oryginalnego az do skali maksymalnej, którą ustala osoba wykonująca analizę. CTF jest również ciągła względem przesunięcia: w czasie obliczeń falka analizująca przesuwa sie w sposób ciągły w całej dziedzinie analizowanej funkcji.

28 DYSKRETNA TRANSFORMATA FALKOWA (DTF)
Obliczanie współczynników falkowych dla każdej możliwej wartości skali jest oliczeniowo bardzo kosztowne, a poza tym generuje olbrzymie ilości danych. Co stanie się jeśli wybierzemy jedynie podzbiór możliwych wartości skal i pozycji (przesunieć), dla których zostana wykonane obliczenia?What if we choose only a subset of scales and positions at which to make our calculations? Okazuje się, że jeśli wybierzemy wartości skali i przesunięć, będące potęgami liczby dwa – zwane skalami i przesunięciami diadycznymi – wówczas nasza analiza bęzie o wiele bardziej efektywna i tak samo dokładna. Taka analiza jest generowana przez DTF. Efektywny sposób realizacji tego postępowania przy użyciu filtrów został określony w roku 1988 przez Mallata. Ten bardzo praktyczny algorytm filtracji generuje szybką transformatę falkową – może być rozumiany jako skrznka, do której wchodzi sygnal, a wychodzą błyskawicznie współczynniki falkowe. Zajmijmy sie tym nieco dokładniej.

29 Filtracja jednostopniowa: aproksymacje i detale
Dla wielu sygnałów zawartość niskoczęstotliwościowa jest częścią najważniejszą. Określa ona charakter sygnału i stanowi jego identyfikację. Natomiast zawartość wysokoczęstotliwościowa wprowadza barwę sygnału i jego szczegóły. Przykładem jest nasz głos. Jeśli usuniemy składowe wysokoczęstotliwościowe, głos brzmi inaczej, ale ciągle jeszcze możemy zrozumieć co zostało powiedziane. Natomiast jesli usuniemy dostatecznie wiele składowych niskoczęstotliwosciowych, pozostanie tylko jazgot. W analizie falkowej często mówimy o aproksymacjach i detalach. Aproksymacje są niskoczęstotliwościowymi składowymi sygnału o dużych wartościach skali. Natomiast detale to składowe wysokoczęstotliwościowe o małych wartościach skali.

30 Filtracja jednostopniowa: aproksymacje i detale
Proces filtracji, na najbardziej elementarnym poziomie, wygląda następująco: Sygnał oryginalny, S, przechodzi przez dwa komplementarne filtry (dolnoprzepustowy i górnoprzepustowy) i pojawia się w postaci dwóch sygnałów. Niestety, jeśli wykonamy tę operację na rzeczywistym sygnale dyskretnym, to pojawi się dwa razy więcej danych niż mieliśmy na początku. Załóżmy na przykład, że oryginalny sygnał S składa sie z 1000 próbek danych. Wówczas każdy z otrzymanych sygnałów będzie miał 1000 próbek, co daje ogółem 2000 elementów danych.

31 Filtracja jednostopniowa: aproksymacje i detale
Okazuje się, że wystarczy zatrzymać co drugą próbkę nie tracąc informacji zawartej w tej reprezentacji. Wynikiem tego zmniejszenia częstotliwości próbkowania (downsampling) są dwa ciągi cA i cD. Wynikiem procesu pokazanego po prawej stronie, który zawiera downsampling, są współczynniki DTF.

32 Filtracja jednostopniowa: aproksymacje i detale
Niech sygnał rzeczywisty będzie czystą sinusoidą z dodanym do niej szumem wysokoczęstotliwościowym. Następujący kod MATLABa generuje s, cD i cA : s = sin(20.*linspace(0,pi,1000)) *rand(1,1000); [cA,cD] = dwt(s,'db2'); gdzie db2 jest nazwą falki, którą chcemy użyć w naszej analizie.

33 Dekompozycja wielopoziomowa
Dekompozycja może być procesem iteracyjnym, w którym kolejne aproksymacje podlegają dekompozycji tak, że sygnał oryginalny zostaje rozłożony na wiele składowych o niższej rozdzielczości. Mówimy wówczas o drzewie dekompozycji falkowej.

34 Rekonstrukcja falkowa
Dowiedzieliśmy się jak używa się dyskretnej transformaty falkowej do analizy czy też dekompozycji sygnałów jednowymiarowych i obrazów. Ten proces nazywa się dekompozycją lub analizą. Druga część opowiadania mówi o tym jak złożyć te elementy, żeby otrzymać sygnał oryginalny bez straty informacji. Jest to proces rekonstrukcji lub syntezy. Przekształcenie matematyczne, którego wyniem jest synteza, nazywa się odwrotną dyskretną transformata falkową (ODTF).

35 Rekonstrukcja falkowa
Do rekonstrukcji sygnału w Wavelet Toolbox, używamy współczynników falkowych: Proces rekonstrukcji falkowej realizuje zwiększenie częstotliwości próbkowania (upsampling) i filtrację. Upsampling jest procesem wydłużania składowej sygnału poprzez wprowadzanie zer pomiędzy jej elementy:

36 Filtry rekonstrukcji Filtracja jako składowa rekonstrukcji również wymaga pewnej dyskusji, ponieważ wybór filtrów ma decydujące znaczenie dla osiągnięcia doskonałej rekonstrukcji sygnału oryginalnego. Downsampling składowych sygnału dokonany w procesie dekompozycji wprowadza zakłócenie w postaci utożsamiania częstotliwości (aliasing). Okazuje się, że poprzez odpowiedni wybór filtrów dekompozycji i rekonstrukcji, które są ściśle powiązane (ale nie identyczne), możemy „wykasować” efekty aliasing.

37 Filtry rekonstrukcji Dolno- i górnoprzepustowe filtry dekompozycji (L i H), łącznie z ich sprzężonymi filtrami rekonstrukcji (L' i H'), tworzą system kwadrantowych filtrów lustrzanych:

38 Rekonstrukcja aproksymacji i detali
Widzieliśmy, że możliwe jest zrekonstruowanie sygnału oryginalnego wychodząc od współczynników aproksymacji i detali. Jest również możliwa rekonstrukcji samych aproksymacji i detali posługując się wektorami ich współczynników. Dla przykładu, zastanówmy się w jaki sposób zrekonstruowalibyśmy aproksymację pierwszego poziomu, A1, posługując się wektorem współczynników cA1. Do wektora cA1 stosujemy ten sam proces, który stosowaliśmy do rekonstrukcji sygnału oryginalnego. Jednakże, zamiast połączenia go z detalem pierwszego poziomu, cD1, wprowadzamy wektor zer w miejsce wektora współczynników detalu.

39 Rekonstrukcja aproksymacji i detali
W procesie tym uzyskujemy zrekonstruowaną aproksymację A1, która ma tą samą długość co sygnał oryginalny S i jest jego rzeczywistą aproksymacją.

40 Rekonstrukcja aproksymacji i detali
Podobnie rekonstruujemy detal pierwszego poziomu D1, posługując się identycznym procesem: Zrekonstruowane detale i aproksymacje są składowymi rzeczywistymi sygnału oryginalnego. Dodając je stwierdzamy, że

41 Rekonstrukcja aproksymacji i detali
Przed połączeniem (zsumowaniem) należy zrekonstruować aproksymacje i detale czyli składowe sygnału. Sygnał oryginalny można odtworzyć na kilka sposobów:

42 Związek między filtrami i kształtami falek
Wybór filtrów decyduje nie tylko o tym czy możliwa jest rekonstrukcja doskonała, ale również określa kształt falki analizującej. Aby skonstruować falkę użyteczną do wykonania jakiegoś praktycznego zadania, rzadko rozpoczyna się od naszkicowania jej kształtu. Zwykle większy sens ma zaprojektowanie właściwych kwadrantowych filtrów lustrzanych i otrzymanie falki ściśle określonej przez te filtry. Zobaczmy na przykładzie jak to się robi.

43 Związek między filtrami i kształtami falek
Weźmy dla przykładu dolnoprzepustowy filtr rekonstrukcji (L') falki db2. Współczynniki filtra uzuskujemy za pomocą instrukcji dbaux : Lprime = dbaux(2) Lprime =

44 Związek między filtrami i kształtami falek
Jeśli odwrócimy kolejność składowych tego wektora (patrz wrev), a następnie pomnożymy każdą składową parzystą przez -1, to otrzymamy filtr górnoprzepustowy H': Hprime = Następnie zwiększamy dwukrotnie długość filtra Hprime (patrz dyadup), wprowadzając zera na co drugą pozycję: HU = Ostatecznie wyznaczamy splot (convolution) wydłużonego wektora z oryginalnym filtrem dolnoprzepustowym: H2 = conv(HU,Lprime); plot(H2)

45 Związek między filtrami i kształtami falek
Powtarzając ten proces jeszcze kilka razy, zawsze wydłużając wektor i wyznaczając splot otrzymanego wektora z czteroelementowym wektorem filtra Lprime, otrzymujemy kształt coraz bliższy kształtowi generowanej falki.

46 Związek między filtrami i kształtami falek
Krzywa zaczyna byc coraz bardziej podobna do falki db2. Oznacza to, że kształt falki jest całkowicie okreslony współczynnikami filtrów rekonstrukcji.

47 Związek między filtrami i kształtami falek
Ten związek ma daleko idące implikacje. Oznacza on, ze nie można wybrać po prostu dowolnego kształtu, nazwać go falką i wykonać analizę. W szczególności, nie możemy wybrać dowolnego kształtu falki jeśli mamy mieć mozliwość dokładnego zrekonstruowania sygnału oryginalnego. Musimy wybrać kształt falki określony kwadrantowymi filtrami lustrzanymi dekompozycji.

48 Funkcja skalująca Widzieliśmy wzajemną relację falek i kwadrantowych filtrów lustrzanych. Funkcja falki  jest określona przez filtr górnoprzepustowy, który również generuje detale dekompozycji falkowej. Istnieje jeszcze jedna funkcja związana z niektórymi, ale nie ze wszystkimi falkami. Jest to tak zwana funkcja skalująca, . Funkcja skalująca jest bardzo podobna do funkcji falki. Jest ona określona przez dolnoprzepustowe kwadrantowe filtry lustrzane. A zatem, jest ona związana z aproksymacjami w rozwinięciu falkowym sygnału czy też jego falkowej dekompozycji. Podobnie jak przy wykorzystaniu filtra górnoprzepustowego, zwiekszając częstotliwość próbkowania i wyznaczając splot, otrzymywalismy w procesie iteracyjnym kolejne aproksymacje falki, teraz zrealizujemy identyczny proces, wykorzystując filtr dolnoprzepustowy i otrzymując kolejne aproksymacje funkcji skalującej. Matlab file phi_daub.m

49 Dekompozycja wielostopniowa i rekonstrukcja
Następujący schemat blokowy reprezentuje wielostopniowy proces analizy czyli dekompozycji sygnału i syntezy czyli rekonstrukcji sygnału:

50 Dekompozycja wielostopniowa i rekonstrukcja
W procesie tym występują dwa aspekty: rozkład sygnału na składowe reprezentowane przez współczynniki falkowe i rekonstrukcja sygnału przy wykorzystaniu tych współczynników. Przedyskutowaliśmy już w pewnym stopniu dekompozycję i rekonstrukcję. Oczywiście rozkład sygnału po to tylko, żeby natychmiast dokonać jego rekonstrukcji nie ma sensu. Możemy zmodyfikować współczynniki falkowe przed wykonaniem kroku rekonstrukcji. Wykonujemy analizę falkową ponieważ otrzymane współczynniki mają wiele znanych zastosowań, a wśród nich jest przede wszystkim usuwanie szumu i kompresja sygnału.

51 Wstęp do rodzin falek W celu samodzielnego zapoznania się ze wszystkimi rodzinami falek można wykorzystać narzędzie Wavelet Display w interfejsie graficznym Wavelet Toolbox MATLAB-a: W linii rozkazowej MATLABa piszemy wavemenu. Pojawia się Wavelet Toolbox Main Menu. Teraz należy kliknąć na Wavelet Display menu. Pojawia się narzędzie Wavelet Display. Teraz wybieramy kliknieciem rodzinę falek z Wavelet menu w górnym prawym rogu tego narzędzia. Teraz klikniemy przycisk Display. Pojawiają sie graficzne reprezentacje falek oraz związane z nimi filtry. Klikając znajdujące się po prawej stronie przyciski, otrzymujemy więcej informacji.