FUNKCJA HOMOGRAFICZNA mgr Elzbieta Markowicz-Legutko Wrzesień 2001

Funkcję wymierną , która x  y = x gdzie a  0  x  R \ { 0 } nazywamy proporcjonalnością odwrotną . Wykresem tej funkcji jest hiperbola. Gałęzie hiperboli znajdują się w I i III ćwiartce układu współrzędnych a > 0 a > 0 y x

f f Własności: D = R \ { 0 } R \ { 0 } Y = proste o równaniach x=0  są asymptotami hiperboli D = R \ { 0 } Y = R \ { 0 } miejsca zerowe - nie ma f  w R- f  w R+ y a > 0 parzystość : jest nieparzysta różnowartościowość : jest różnowartościowa x f (x) > 0  x  R + f (x) < 0  x  R -

gdzie a  0  x  R \ { 0 } dla a < 0 Wykres funkcji x  y = x gdzie a  0  x  R \ { 0 } dla a < 0 Gałęzie hiperboli znajdują się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych y a < 0 a < 0 x

f f Własności: D = R \ { 0 } R \ { 0 } Y = proste o równaniach x=0  są asymptotami hiperboli D = R \ { 0 } Y = R \ { 0 } miejsca zerowe - nie ma f  w R- f  y w R+ a < 0 parzystość : jest nieparzysta różnowartościowość : x jest różnowartościowa f (x) > 0  x  R - f (x) < 0  x  R +

Definicja : Funkcja homograficzna to funkcja określona wzorem : ax +b f (x) = cx + d  x  R \ {- } d c  0 gdzie :  ad – bc  0 c

5 + u = [ 0 , 5 ] Przykład 1. Narysuj wykres funkcji : 5x + 1 zał: x  y = x  0 x a = 5 , b = 1 , c = 1 , d = 0 Przekształcamy wzór : 5x + 1 5x 1 1 f ( x ) = = + = 5 + x x x x 5x + 1 Zatem wykres funkcji y = otrzymujemy x 1 przekształcając wykres y = przez T u gdzie x u = [ 0 , 5 ]

y 5x + 1 y = x 5 u u | 1 x 1 y = x

f f Własności: D = R \ { 0 } R \ { 5 } Y = f (x) > 0  x  ( -  ; x0 )  ( 0 ;  ) f (x) < 0  x  ( x0 ; 0 ) D = R \ { 0 } Y = R \ { 5 } miejsca zerowe - x0 f  w R- f  w R+ parzystość : nie jest parzysta nie jest nieparzysta różnowartościowość : jest różnowartościowa proste o równaniach x0 x=0  y =5 są asymptotami hiperboli

u = [ -1 , 0 ] Przykład 2. Narysuj wykres funkcji : 2 zał: x  y = a = 0 , b = 2 , c = 1 , d = 1 otrzymujemy Wykres tej funkcji 2 przez T u przekształcając wykres y = x u = [ -1 , 0 ] gdzie

y 2 y = x | - - 1 x -1 1 2 y = x + 1

f f Własności: D = R \ { -1 } R \ { 0 } Y = f (x) > 0  miejsca zerowe - nie ma f  w ( -  ; -1 ) f  w ( -1 ;  ) parzystość : nie jest parzysta nie jest nieparzysta różnowartościowość : -1 jest różnowartościowa proste o równaniach x= -1  y =0 są asymptotami hiperboli

-3 + u = [ 2 , -3 ] Przykład 3. Narysuj wykres funkcji : -3x + 4 zał: x  y = x  2 x - 2 a = -3 , b = 4 , c = 1 , d = -2 Przekształcamy wzór : -2 -3 ( x-2 ) -2 -3x + 4 -3 + f ( x ) = = + = x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 -3x + 4 Zatem wykres funkcji y = otrzymujemy x - 2 -2 przekształcając wykres y = przez T u gdzie x u = [ 2 , -3 ]

y 1 x 1 2 -2 y = x -3 - 3x + 4 y = x - 2

f f Własności: D = R \ { 2 } R \ { - 3 } Y = f (x) > 0  x  ( x0 ; 2 ) f (x) < 0  x  ( -  ; x0 )  ( 2 ;  ) D = R \ { 2 } Y = R \ { - 3 } miejsca zerowe - ma jedno : x0 f  w ( -  ; 2 ) f  w ( 2 ;  ) parzystość : nie jest parzysta nie jest nieparzysta x0 różnowartościowość : 2 jest różnowartościowa proste o równaniach -3 x=2  y = -3 są asymptotami hiperboli

Wykresem funkcji homograficznej : ax +b f (x) = cx + d  x  R \ {- } Twierdzenie: Wykresem funkcji homograficznej : ax +b f (x) = cx + d  x  R \ {- } d gdzie : c  0  ad – bc  0 c jest hiperbola .

Hiperbola: ax +b f (x) = cx + d Powstaje z przesunięcia wykresu funkcji bc - ad f (x) = c2 x d a [ - , ] o wektor u = c c

d a Środek symetrii jest w punkcie : ( - ; ) c c d a Asymptotami są proste o równaniach : x = - ; y = c c Hiperbola ma dwie osie symetrii : proste zawierające dwusieczne kątów między asymptotami : a + d a - d ; y = - x + y = x + c c

KONIEC