D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 0 Wykład 0: Informacje o przedmiocie. dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG www.wzr.pl/~dciolek

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 0 Informacje o przedmiocie: Forma zajęć: Wykłady: 15 godzin Ćwiczenia: 15 godzin Forma zaliczenie: Test pisemny – 90 minut, W razie potrzeby możliwa jest jedna poprawka testu w sesji poprawkowej.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 0 Zakres tematyczny Przedmiot badań operacyjnych. Liniowe modele decyzyjne. Zagadnienia transportowe. Zagadnienia przydziału. Elementy teorii gier: gry dwuosobowe o sumie zero i gry z naturą

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 0 Literatura Ignasiak, E. (red.) (2001), Badania operacyjne, PWE, Warszawa. Kozubski, J.J. (2004), Wprowadzenie do badań operacyjnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk. Kukuła, K. (red.) (2007), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa. Sikora W. (red.) (2008), Badania operacyjne, PWE, Warszawa. Straffin P. D., (2004), Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa. Trzaskalik T. (2007), Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE, Warszawa. Wagner, H.M. (1980), Badania operacyjne, PWE, Warszawa.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Wykład 1: Wprowadzenie do badań operacyjnych. Liniowe modele decyzyjne. dr Dorota Ciołek Katedra Ekonometrii Wydział Zarządzania UG www.wzr.pl/~dciolek

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Nauka wykorzystująca modelowanie matematyczne do wspierania procesu podejmowania decyzji, przede wszystkim w zarządzaniu – nauka o zarządzaniu. Wspieranie podejmowania decyzji oparte jest na zasadach racjonalnego działania: zasada największego efektu – przy danych nakładach środków osiągnąć maksymalny efekt, zasada najmniejszych nakładów środków – określony efekt osiągnąć najmniejszymi nakładami środków. Początki badań operacyjnych: okres przed II Wojną Światową Prekursorzy: Leonid Kantorowicz, matematyk i ekonomista, John von Neuman, chemik i matematyk.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Dziedziny pokrewne: Programowanie matematyczne – konstrukcja i analiza właściwości algorytmów rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Teoria podejmowania decyzji – wypracowanie odpowiednich reguł decyzyjnych na podstawie analizy własności konkretnych modeli podejmowania decyzji. Badania operacyjne – budowa modeli różnych sytuacji decyzyjnych. Bliski związek również z: Ekonomią Matematyczną, Ekonometrią.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Zastosowania: - Wojskowość - rozmieszczenie systemów obrony, analiza niezawodności sprzętu wojskowego, poszukiwanie i udzielanie pomocy, symulacja gier wojennych. - Decyzje dotyczące produkcji – wybór optymalnego asortymentu produkcji, sterowanie zapasami, zarządzanie jakością. - Marketing - wybór mediów w kampanii reklamowej, ocena konkurencyjności strategii marketingowych, przydział personelu do sprzedaży, umiejscowienie centrów dystrybucji, prognozowanie sprzedaży. - Analiza (zarządzanie) portfelem papierów wartościowych - Planowanie diety. - Zarządzanie personelem.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Metody badań operacyjnych Programowanie liniowe, Programowanie całkowitoliczbowe, Zagadnienia transportowe, Zagadnienia przydziału, Programowanie nieliniowe, Programowanie wielokryterialne, Programowanie dynamiczne, Programowanie sieciowe, Teoria masowej obsługi, Itd..

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Metodologia postępowania Etapy: 1) Sformułowanie problemu decyzyjnego – sporządzenie uproszczonego opisu fragmentu interesującej nas rzeczywistości gospodarczej; 2) Budowa modelu matematycznego sytuacji decyzyjnej; 3) Wybór odpowiedniego algorytmu i znajdowania rozwiązania optymalnego; 4) Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego; 5) Weryfikacja modelu; 6) Wdrożenie rozwiązania w rzeczywistości gospodarczej.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Rodzaje modeli decyzyjnych Ze względu na posiadane informacje: 1) Modele deterministyczne – w warunkach pewności, parametry modelu są znana i stałe – rozwiązanie optymalne modelu, to decyzja optymalna. 2) Modele niedeterministyczne: - stochastyczne – w warunkach ryzyka, niektóre parametry modelu są zmiennymi losowymi o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa – wynik decyzji jest łącznym rezultatem działań decydenta i czynników losowych. - podejmowanie decyzji w warunkach niepewności – parametry modelu mogą przyjmować różne wartości w zależności od tego, jaki wystąpi stan otoczenia.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Rodzaje modeli decyzyjnych Ze względu na horyzont czasowy: 1) Modele operacyjne – w krótkim horyzoncie czasowym, duża powtarzalność. 2) Modele strategiczne - wspierają podejmowanie decyzji mających znaczenie w długim okresie. Ze względu liczbę kryteriów optymalizacji: 1) Modele jednokryterialne, 2) Modele wielokryterialne. Ze względu na postać analityczną wykorzystanej w modelu: 1) Modele liniowe, 2) Modele nieliniowe.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Podstawowe pojęcia Sytuacja decyzyjna – sytuacja, w której podejmujemy decyzję, fragment rzeczywistości mającej znaczenie w danym przypadku. Decydent – osoba podejmująca decyzję o wyborze sposobu działania i ponosząca odpowiedzialność za efekty realizacji. Strategia działania – metoda postępowania przynosząca określony efekt. Decyzja dopuszczalna – sposób działania możliwy do podjęcia przy danych ograniczeniach. Decyzja optymalna – decyzja najlepsza z punktu widzenia danego kryterium. Model decyzyjny - matematyczny zapis sytuacji decyzyjnej.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Linowy model decyzyjny – program liniowy Na model decyzyjny składają się: jednoznacznie zdefiniowane zmienne decyzyjne – informują, o czym powinien zdecydować decydent, warunki ograniczające (warunki wewnętrznej zgodności) – odzwierciedlają ograniczoność zasobów lub minimalne wymagania, które należy spełnić, funkcja kryterium (funkcja celu) – definiuje cel, który przyświeca decydentowi – np. maksymalizacja zysku (przychodu) lub minimalizacja kosztów, warunki nieujemności (warunki brzegowe) – ograniczają zbiór dopuszczalnych rozwiązań zmiennych decyzyjnych do liczb nieujemnych.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Liniowy model decyzyjny Zapis ogólny – postać standardowa (dla maksymalizacji)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Liniowy model decyzyjny Zapis ogólny – postać standardowa (dla minimalizacji)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Liniowy model decyzyjny Zapis macierzowy: - wektor współczynników funkcji celu, - wektor zmiennych decyzyjnych, - macierz współczynników z warunków ograniczających, - wektor wyrazów wolnych (zasobów, wymogów).

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Postać kanoniczna LMD Postać kanoniczna liniowego modelu decyzyjnego – postać gdzie warunki ograniczające mają postać równań oraz na wszystkie zmienne nałożone są warunki nieujemności. W warunkach ograniczających uwzględniamy tzw. zmienne dodatkowe s, które do funkcji celu wchodzą z zerowymi wagami. Zmienne dodatkowe wprowadzane są do warunków ograniczających będących nierównościami: - mniejsze równe: zmienna s jest dodawana; - większe równe: zmienna s jest odejmowana.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Liniowy model decyzyjny Zapis ogólny – postać kanoniczna (dla maksymalizacji)

Przykład 1: zagadnienie optymalnego asortymentu produkcji Przedsiębiorstwo wytwarza dwa rodzaje produktów: A i B. Produkty te są wytwarzane z jednego surowca i przy użyciu specjalistycznych maszyn. Maszyny mają ograniczony limit czasu pracy – 480 minut dziennie. Każdego dnia przedsiębiorstwo ma do dyspozycji pięćdziesiąt kg surowca. Do wytworzenia jednej jednostki produktu A potrzeba 10 minut czasu pracy maszyn i 1 kg surowca, do wytworzenia jednej jednostki produktu B potrzeba natomiast 12 minut pracy maszyn i także 1 kg surowca. Przedsiębiorstwo sprzedaje produkt A po 100 zł a produkt B po 120 zł. Jednostkowy zysk z A wynosi 50 zł, natomiast z B 70 zł. Przedsiębiorstwo jest zainteresowane takim programem dziennej produkcji, przy którym będzie osiągało zysk minimum 2500 zł. Należy opracować dzienny plan produkcji tak, aby wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa.

Przykład 2: zagadnienie optymalnej mieszanki Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę kurcząt. Ze względu na konieczność zapewnienia pewnych składników odżywczych zachodzi potrzeba zakupienia odpowiedniej ilości produktów A i B. Zawartości interesujących nas składników odżywczych w obu produktach podaje tabela: W jednorazowej porcji paszy nie może być mniej niż 18 j.m S1 i 10 j.m S2. Składnik S3 nie może występować w ilości większej niż 20 j.m. Produkty A i B zawierają jeszcze szkodliwy składnik S4, którego zawartość w 1 kg produktu A wynosi 2 j.m., a w 1 kg produktu B – 3 j.m. Należy ustalić, ile kg produktów A i B należy dodawać do jednorazowej porcji, aby zminimalizować ilość szkodliwego składnika S4.   Produkt Zawartość składników odżywczych w 1 kg produktu w jedn. miary S1 S2 S3 A 3 1 2 B

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego Rozwiązanie modelu decyzyjnego polega na znalezieniu rozwiązania optymalnego, czyli najlepszego z punktu widzenia określonego kryterium, możliwego do uzyskania w danych okolicznościach (przy danych ograniczeniach). Rozwiązanie dopuszczalne – takie wartości zmiennych decyzyjnych, które możliwe są do uzyskania przy danych ograniczeniach. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych – obszar (lub przestrzeń) do którego należą wszystkie punkty (kombinacje zmiennych decyzyjnych), które spełniają wszystkie ograniczenia równocześnie (warunki ograniczające i warunki brzegowe). Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem wypukłym.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Rozwiązanie liniowego modelu decyzyjnego Metody rozwiązywania: metoda graficzne – tylko do modeli z dwiema zmiennymi decyzyjnymi, metoda simplex – metoda uniwersalna dla liniowych modeli decyzyjnych. Rozwiązanie metodą graficzną: 1) Szukamy obszaru rozwiązań dopuszczalnych – obszaru w którym spełnione są wszystkie warunki ograniczające. 2) Wykorzystując gradient funkcji kryterium, w wierzchołkach obszaru rozwiązań dopuszczalnych szukamy rozwiązania najlepszego z punktu widzenia funkcji kryterium – rozwiązanie optymalne. Rozwiązanie optymalne reprezentuje taka kombinację zmiennych decyzyjnych x1 i x2, która daje optymalne, najlepsze z punktu danego celu, rozwiązanie.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 1 Liczba rozwiązań optymalnych Liniowy model decyzyjny może mieć: jedno rozwiązanie optymalne – tylko w jednym wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych znajduje się największa (najmniejsza) wartość funkcji celu. nieskończenie wiele rozwiązań – gdy optymalna wartość funkcji celu znajduje się równocześnie w dwóch wierzchołkach zbioru rozwiązań dopuszczalnych. brak rozwiązań optymalnych – gdy zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Model dualny do liniowego modelu decyzyjnego Każdemu zagadnieniu programowania liniowego odpowiada sformułowane w odpowiedni sposób zagadnienie dualne (dwoiste). Zastosowanie modelu dualnego: Analiza ekonomiczna wyników rozwiązania, W niektórych sytuacjach umożliwia łatwiejsze rozwiązanie modelu prymalnego (MP).

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Zasady budowy modelu dualnego 1) Liczba zmiennych decyzyjnych w MD jest równa liczbie warunków ograniczających w MP. 2) Liczba warunków ograniczających w MD jest równa liczbie zamiennych decyzyjnych w MP. 3) Dualna funkcja celu jest przeciwna wobec prymalnej funkcji celu. 4) Wyrazy wolne z MP stają się współczynnikami w funkcji kryterium MD. 5) Współczynniki z funkcji kryterium MP stają się wyrazami wolnymi w MD. 6) Macierz współczynników przy zmiennych w warunkach ograniczających MD jest równa transponowanej macierzy współczynników z warunków ograniczających MP.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Zasady budowy modelu dualnego - cd 7) Znaki w warunkach ograniczających są standardowe dla dualnej funkcji celu (max: ; min: ). 8) Warunki brzegowe: - Jeżeli warunek ograniczający w MP odpowiadający danej zmiennej dualnej jest standardowy, wówczas zmienna dualna ma ograniczenie brzegowe  0. - Jeżeli warunek ograniczający w MP odpowiadający danej zmiennej dualnej jest niestandardowy, wówczas zmienna dualna ma ograniczenie brzegowe  0. - Jeżeli warunek ograniczający w MP odpowiadający danej zmiennej dualnej jest równością, wówczas zmienna dualna nie ma ograniczenia brzegowego.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Dualny model decyzyjny – dla max Model Prymalny Model dualny

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Dualny model decyzyjny – dla min Model Prymalny Model dualny

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Model dualny w postaci kanonicznej 1) 2)

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Twierdzenia o dualności Twierdzenie 1 Jeżeli model prymalny ma rozwiązanie optymalne, to również model dualny ma rozwiązanie optymalne. Optymalna wartość funkcji celu w MP jest równa optymalnej wartości funkcji celu w MD. Twierdzenie 2 Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym zmienna prymalna przyjmuje niezerową wartość, to odpowiadająca jej (sprzężona z nią) zmienna dualna w rozwiązaniu optymalnym jest równa zero. Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym zmienna prymalna jest równa zero, to odpowiadająca jej (sprzężona z nią) zmienna dualna w rozwiązaniu optymalnym przyjmuje wartość niezerową.

D. Ciołek BADANIA OPERACYJNE – wykład 2 Interpretacja zmiennych dualnych Dualna zmienna decyzyjna: Wartość optymalna dualnej zmiennej decyzyjnej yi określa przyrost optymalnej wartości funkcji celu zagadnienia prymalnego przy wzroście ograniczenia bi o jednostkę. Zgodnie z neoklasyczną teorią ekonomii – określa krańcową produktywność jednostki i-tego środka produkcji. Dualna zmienna dodatkowa: Wartość optymalna dualnej zmiennej dodatkowej gj informuje o tym, o ile musiałaby zmienić się wartość współczynnika z prymalnej funkcji celu przy zmiennej xj , aby ta zmienna w rozwiązaniu optymalnym przyjęła niezerową wartość.