Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji

Prezentacja na temat: "Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji"— Zapis prezentacji:

1 Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji
W istocie: dwa warunki:

2 Kryterium rozstrzygające
Zjawisko, które nie spełnia kryterium liniowości jest nieliniowe

3 Przykład W elektrotechnice obwody RLC są nazywane liniowymi
Rezystor R: tgα=1/R

4 Przykład Co mówi kryterium?

5 Przykład: cewka Cewka:
Prawo znane jako reguła Lenza – rozłączanie i załączanie obwodów indukcyjnych jest ryzykowne (przepięcia)

6 Przykład: cewka Kryterium:

7 Ćwiczenie Czy kondensator jest też elementem liniowym? Kondensator:

8 Przykład To jest układ liniowy R=1/D

9 Przykład To też jest układ liniowy (zasada superpozycji)

10 Przykłady Nie są liniowe np. zjawiska na giełdzie papierów wartościowych: „jeśli w ciągu miesiąca te akcje przyniosły 3 tys. zł, to w ciągu roku przyniosą 36 tys. zł. zysku (rzucam pracę!)” – niestety, nie.

11 Dlaczego tak ważne, żeby rozróżniać?
Nałożenie warunku na układ to stworzenie równania lub nierówności Np.: „Przez ten rezystor (1kΩ) nie może płynąć prąd większy niż 100mA”: (czyli przypadek graniczny:)

12 Dlaczego tak ważne ...? Rozwiązanie równania to wyznaczenie jakiegoś interesującego parametru: Jeżeli mamy kilka zmiennych niezależnych, i nałożymy na nie kilka warunków ograniczających i wiążących je ze sobą, to powstanie zbiór (układ) równań

13 Dlaczego tak ważne ...? Układ równań opisujących zjawiska liniowe będzie układem równań liniowych Jeśli choć jeden fragment systemu ma charakter nieliniowy – powstanie układ równań nieliniowych Na rozwiązywanie równań/układów równań liniowych jest dobra metoda, w przypadku równań/układów równań nieliniowych – jest dużo gorzej

14 Równania liniowe/nieliniowe
Bez problemu można rozwiązać liniowe równanie: Niektóre równania nieliniowe można rozwiązać również dość łatwo:

15 Równania liniowe/nieliniowe
Większość jednak równań nieliniowych dostarcza nam dużo większych kłopotów:

16 Układy równań liniowych
Na rozwiązywanie układów równań liniowych są metody, których mają trzy ważne cechy: Algorytm zawsze kończy pracę w obrębie ściśle określonego limitu liczby kroków obliczeniowych Algorytm zawsze znajduje unikalne rozwiązanie lub potrafi stwierdzić, że takiego rozwiązania nie ma Dokładność wyznaczenia rozwiązania jest związana z dokładnością obliczeń maszyny liczącej a nie jest cechą algorytmu (można więc w pewnym sensie powiedzieć, że algorytm wyznacza rozwiązanie dokładne)

17 Układy równań liniowych
Układ równań

18 Układy równań liniowych
Zapis macierzowy:

19 Układy równań liniowych

20 Układy równań liniowych
Zapis macierzowy: macierz o rozmiarach m x n (m równań/wierszy, n zmiennych/kolumn) wektor kolumnowy zmiennych o rozmiarach n x 1 (n wierszy/zmiennych) wektor kolumnowy wyrazów wolnych o rozmiarach m x 1 (m wierszy/wyrazów wolnych)

21 Układy równań liniowych
Tylko układy, które mają tyle niezależnych równań ile zmiennych dają jednoznaczne rozwiązanie, Niekoniecznie jest to tożsame z m=n – niektóre równania mogą być liniowo zależne Zamiast m liczy się tzw. rząd macierzy r, mówiący o liczbie liniowo niezależnych równań

22 Układy równań liniowych
To wydaje się układ 3 równań: ...ale w rzeczywistości to 2 równania – trzecie równanie to cztery razy pierwsze – równania są liniowo zależne

23 Układy równań liniowych
Jeśli r < n to układ jest niedookreślony, ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n - r) parametrów Jeśli r=n to istnieje jedno unikalne rozwiązanie Jeśli m>n, to albo część równań jest linowo zależnych (dzięki czemu r<=n) albo układ jest nadokreślony – sprzeczny.

24 Układy równań liniowych
Własciwości układu równań liniowych (np. istnienie rozwiązań, wrażliwość rozwiązania na fluktuacje wektora b) są określone właściwościami macierzy A (np. jej rzędem, jej spektrum) Równanie: jakie potrzebne x, żeby uzyskać b? wejście (x) wyjście (b) proces (A)

25 Układy równań liniowych
Rozwiązanie układu równań można przeprowadzić za pomocą operacji macierzowych Rozwiązanie układu:

26 Rozwiązanie układu równań liniowych
Rozwiązanie układu obejmuje wyznaczenie odwrotności macierzy A, z czego wynika, że musi to być macierz kwadratowa o pełnym rzędzie O dużej klasie algorytmów rozwiązujących układy równań liniowych można myśleć jako o algorytmach znajdujących odwrotność macierzy A Klasyczny algorytm to algorytm eliminacji Gaussa-Jordana

27 Algorytm Gaussa-Jordana
Jordan – kartograf i geodeta. Zastosował metodę w wyznaczaniu błędów pomiarów kartograficzno-geodezyjnych Karl Friedriech Gauss ( ) Wilhelm Jordan (1842 to 1899)

28 Algorytm Gaussa-Jordana
Algorytm dąży do tego, aby skonstruować równanie Ux=d, przy czym U to macierz trójkątna górna:

29 Algorytm Gaussa-Jordana
Na podstawie tej postaci łatwo wyznaczyć rozwiązania w procesie wstecznego podstawiania: z ostatniego równania wprost można wyznaczyć xn , znając xn z równania przedostatniego można wyznaczyć xn-1 ,itd.

30 Algorytm Gaussa Jordana

31 Algorytm Gaussa Jordana

32 Algorytm Gaussa Jordana

33 Algorytm Gaussa Jordana

34 Algorytm Gaussa-Jordana
Doprowadzenie do postaci trójkątnej górnej rezlizuje się w pierwszej fazie algorytmu poprzez ciąg operacji polegających na dodawaniu (odejmowania) do jednego równania wielokrotności drugiego Bezpośrednim celem każdej takiej operacji jest wyzerować współczynnik przy kolejnej zmiennej W zapisie macierzowym operacja na równaniu polega na jednoczesnym poddawaniu tym samym przekształceniom wierszowym i macierzy A i wektora b

35 Algorytm Gaussa-Jordana
Np. pierwsza operacja – odjąć od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez : Powtórzyć to samo, dla wierszy 3 do n, zapewniając, że w każdym wierszu pierwszy współczynnik zostanie wyzerowany W drugim kroku zacząć od trzeciego równania i odjąć drugie pomnożone przez: Kontynuować dla wierszy 4 do n Powtarzać krok algorytmu polegający na wyzerowaniu (p-1)-tego współczynnika w równaniach p do n aż osiągnięta zostanie macierz trójkątna górna (p ma się zmieniać od 2 do n)

36 Algorytm Gaussa-Jordana
for p := 2 to n do for k := p to n do begin m := a(k,p-1)/a(p-1,p-1) b(k) := b(k)-b(k-1)*m; for l := 1 to n do if (l < p) then a(k,l) := 0 else a(k,l) := a(k,l) – a(k-1,l)*m; end;

37 Algorytm Gaussa - Jordana
Dodatkowy element algorytmu – w każdym kroku algorytmu równania są dzielone przez wartość Dobrze jest, aby było jak największe Dlatego algorytm nie jest realizowany zgodnie z sekwencją równań, ale w każdym kroku do odejmowania wybierane jest równanie z jak największym Zabieg ten nazywany jest piwotem