Twierdzenie Pitagorasa 1. Informacje o Pitagorasie 2. Twierdzenie – wzór i rysunek 3. Twierdzenie odwrotne 4. Ekierki 5. Zastosowanie 6. Przykładowe zadania 7. Ciekawostki a) gwiazda pitagorejska b) trójki pitagorejskie c) cytaty 8. Bibliografia Prezentację wykonały: Karolina Całus i Beata Kolec

Powrót do strony głównej Pitagoras Pitagoras z Samos (572 p.n.e.-497 p.n.e.) żył w czasach, gdy w Indiach nauczał Budda, a w Chinach Konfucjusz. Założył Związek Pitagorejski – bractwo religijno-polityczne, które prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie harmonijnie brzmiały. Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Opis twierdzenia W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. P3 P1+P2=P3 P1, P2- pola kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych P3 – pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej P1 P2 Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.   a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnej c a b Powrót do strony głównej

twierdzenia Pitagorasa Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku to trójkąt jest prostokątny. a,b,c – to boki trójkąta, c2=a2+b2 c b a Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Ekierki Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jedna z przyprostokątnych ma długość a. C Trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a. A zatem przyprostokątna AC ma też długość a, a przeciwprostokątna BC ma długość a a a |AC| = a |BC| = a 450 B A Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Rysunek obok przedstawia trójkąt prostokątny ABC, którego jeden z kątów ma 60°, a krótsza przyprostokątna ma długość a. Drugi kąt ostry ma miarę 30°. A Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a, zatem przeciwprostokątna AC ma długość 2a. Długość drugiej przyprostokątnej można obliczyć ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: 30° 2a |AC| = 2a |BC| = a 60° C B a Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY BOKAMI W TRÓJKĄTACH EKIERKACH W trójkącie prostokątnym równoramiennym: obie przyprostokątne mają taką samą długość jeśli znasz przyprostokątną, to przeciwprostokątną obliczysz mnożąc przyprostokątną przez     jeśli znasz przeciwprostokątną, to przyprostokątną obliczysz dzieląc przeciwprostokątną przez W trójkącie prostokątnym z kątami 30° i 60° : naprzeciw kąta 30° leży krótsza przyprostokątna przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej jeśli znasz krótszą przyprostokąna, to dłuższą obliczysz mnożąc krótszą przez jeśli znasz dłuższą przyprostokątną, to krótszą obliczysz dzieląc dłuższą przez Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Zastosowanie Stosując twierdzenie Pitagorasa, możemy obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości dwóch pozostałych boków. W wielu figurach płaskich poprzez dorysowanie w danej figurze odpowiednich odcinków otrzymujemy trójkąty proste, dla których można stosować twierdzenie Pitagorasa: Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Przykładowe zadania zadanie 1 W trójkącie równoramiennym ramiona mają długość 9, a podstawa ma długość 12. Jaką wysokość ma ten trójkąt? wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na połowy 9 x 9 6 Rozwiązanie: 12 62 + x2 = 92 x2 = 45 x = 3 Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i znajdujemy dodatnie rozwiązanie równania Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej zadanie 2 Oblicz pole prostokąta, którego przekątna ma długość 7 cm, a jeden z boków ma długość 3 cm Rozwiązanie: 7 cm x Najlepiej zacząć od narysowania rysunku: Teraz szukamy boku x korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 3 cm x2+(3 )2=72 x2+18+49/ -18 x2 = 31/ x = P= . 3 =3 cm2 Powrót do strony głównej

zadanie 3 Powrót do strony głównej Latawiec wykonany przez Marka ma kształt rombu, w którym długość boku wynosi 5 dm, a jedna z przekątnych ma długość 8 dm. Oblicz długość drugiej przekątnej tego rombu. Rozwiązanie: Ponieważ cała przekątna ma długość 8 dm, więc jej połowa ma 4 dm. 5dm x 4dm x – połowa długości drugiej przekątnej x2 + 42 = 52 x2 + 16 = 25 /- 16 x2 = 9 / x = 3 Teraz trzeba obliczyć długość przekątnej rombu: 3dm . 2 = 6 dm Odpowiedź: Długość drugiej przekątnej rombu wynosi 6 dm Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Ciekawostki Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3, 4, 5, nazywamy trojkątem pitagorejskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest zawsze liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Prostokąt, którego boki i przekątne maja długości całkowite można nazwać pitagorejskim. Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim. W trójkątach prostokątnych równoramiennych przeciwprostokątna jest zawsze liczbą niewymierną. Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Gwiazda pitagorejska Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku. Figura to istotnie niezmiernie ciekawa: ma właściwości wyróżniające ją spośród innych gwiazd. Suma kątów pentagramu równa się dwóm kątom prostym, przypomina więc nam o trójkącie, którego suma kątów także równa się 1800. Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Trójki pitagorejskie Trojka pitagorejska- to trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c takie, że: a2 + b2 = c2 (tzn. spełniające równanie Pitagorasa). Nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, w którym boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższa zależność. a b c 3 4 5 12 13 6 8 10 7 24 25 15 17 9 A oto kilka trójek pitagorejskich: Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Cytaty Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie. Kto zatraca się w cierpieniu, nie może być człowiekiem wolnym. Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od milczenia. Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają najdłuższego zastanowienia. U przyjaciół wszystko jest wspólne. Twierdzenie Pitagorasa w uczniowskiej liryce Anety Wilczak brzmi: "Ten Pitagoras to mądry Grek, ważne twierdzenie nam kiedyś rzekł: Gdy prostokątny to trójkąt jest, to suma kwadratów przyprostokątnych jego, równa się kwadratowi przeciwprostokątnej trójkąta danego. Tymi słowami wyjaśnił nam treść, która w nauce dość ważna jest." Powrót do strony głównej

Powrót do strony głównej Bibliografia Książka: MATEMATYKA Z PLUSEM Internet Czasopismo : VICTOR GIMNAZJALISTA KONIEC!!! Powrót do strony głównej