Autorzy: Magda Jóźwik Adrianna Prokop

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE
Advertisements

Twierdzenie Pitagorasa
Macierze i wyznaczniki
CIĄGI.
TRÓJKĄTY Karolina Szczypta.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Zapraszamy do poznania kwadratu magicznego
MATEMATYKA-ułamki zwykłe
W Krainie Czworokątów.
Pisemne mnożenie liczb naturalnych
Pisemne dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych
Pisemne dzielenie liczb naturalnych
Macierze Maria Guzik.
Czworokąty Wykonał: Tomek J. kl. 6a.
Kangur kl. IVa.
Stworzyli: Edyta Celmer I Marta Kałuża.
Metody numeryczne Wykład no 2.
KWADRAT PROSTOKĄT RÓWNOLEGŁOBOK ROMB TRAPEZ CZWOROKĄTY.
Wzory skróconego mnożenia Klikaj....
Tajemniczy ciąg Fibonacciego
Matematyka.
Zadanie 3 Gimnazjum nr 1, klasa 3f.
na poziomie rozszerzonym
Ciąg liczbowy Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny
Trójkąty prostokątne Renata Puczyńska.
Matematyka Architektura i Urbanistyka Semestr 1
Wyrażenia algebraiczne
Zapraszamy na prezentację o kwadratach magicznych
Pitagoras NAJWIĘKSZY MATEMATYK.
A. Sumionka. Starodawna gra marynarska; Gra dwu i wieloosobowa; Gracze wykonują ruchy naprzemian; Złożona ze stosów, w których znajduje się pewna ilość
Pitagoras z Samos.
Kinematyka prosta.
Ćwiczenia 8. Kwadraty magiczne.
Podstawy analizy matematycznej I
Ciekawostki o liczbach
Magiczne kwadraty.
Opracowała: Iwona Kowalik
Wyrażenia algebraiczne
Adam i Ewa, 1504 Poszukiwanie piękna ludzkiego ciała
Przygotowała Zosia Orlik
Kwadrat- as wśród czworokątów
Matematyka i system dwójkowy
KINDERMAT 2014 „Matematyka to uniwersalny język, za pomocą którego opisany jest świat”
UŁAMKI ZWYKŁE.
NIM gra Beata Maciejewska Monika Mackiewicz.
Andrzej Majkowski informatyka + 1.
Matematyka jest ciekawa
w kwadracie stupolowym
Klasa 3f Gimnazjum nr 1 w Zielonej Górze
WIELOKĄTY Karolina Zielińska kl.v Aleksandra Michałek kl v
ELA CECUR I WIKTORIA BARAN
„Między duchem a materią pośredniczy matematyka. ”
Aleksander Wysocki IIc
Liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …(i tak dalej) nazywamy liczbami naturalnymi. Tak jak z liter tworzy się słowa, tak z cyfr tworzymy liczby. Dowolną.
Prezentacja pt. Kwadrat Magiczny.
Wyrażenia algebraiczne
Ciekawostki matematyczne
UŁAMKI ZWYKŁE ?.
Paweł Narloch, Mieszko Skrzypek i Hubert szybowski
Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych
CZWOROKĄTY i ich własności
Radosław Hołówko Konsultant: Agnieszka Pożyczka
i jego magiczny kwadrat
Jednomany.
Gdzie co jest? Cz. II.
Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Liczby pierwsze: szukanie, rozmieszczenie, zastosowanie, ciekawostki. Kinga Cichoń.
Cechy podzielności liczb
Gdzie co jest? Cz. II.
Gdzie co jest? Cz. II.
Zapis prezentacji:

Autorzy: Magda Jóźwik Adrianna Prokop Kwadraty magiczne Autorzy: Magda Jóźwik Adrianna Prokop

Przedstawiony kwadrat znany był w Chinach już około 2200 roku p.n.e. Kwadraty magiczne znane były Chińczykom i Hindusom przed paru tysiącami lat. Spotyka się amulety chińskie z kwadratami magicznymi, na których jeszcze nie ma cyfr, lecz są odpowiednie ilości nakłuć lub wydrążeń. Znane one były również Arabom w IX wieku naszej ery. Do Europy zaś wprowadził je, a przynajmniej pierwsze zasady ich zestawień wskazał Europejczykom, pewien Grek imieniem Moscopulos, który żył w Konstantynopolu w początkach XV stulecia. Kwadraty magiczne są to kwadraty rozbite na pewną ilość mniejszych kwadracików, czyli pól, w których liczby wypisuje się w ten sposób, że suma liczb w każdym poziomym rzędzie, w każdej pionowej kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Przedstawiony kwadrat znany był w Chinach już około 2200 roku p.n.e. Suma liczb w kolumnach, wierszach i na obu przekątnych wynosi w tym kwadracie magicznym 15.

Kwadrat nad skrzydłem anioła Najbardziej historycznym kwadratem magicznym w Europie nazwać można bez wątpienia ten, który widnieje na jednym z arcydzieł pędzla Albrechta Dürera zatytułowanym „Melancholia”. Jest to kwadrat złożony z 16 pól, a zestawiony tak pomysłowo, że dwie środkowe liczby dolnego rzędu dają rok powstania dzieła - 1514. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Kwadrat nad skrzydłem anioła

dodajemy po 17 i otrzymujemy kwadrat: Kwadraty magiczne mają bardzo ciekawe właściwości: Jeżeli wszystkie liczby, jakie zawiera kwadrat magiczny powiększymy lub zmniejszymy o jedną i tę samą liczbę to kwadrat pozostanie magiczny. dodajemy po 17 i otrzymujemy kwadrat: Np. Do każdej liczby w kwadracie: 2 9 4 7 5 3 6 1 8 19 26 21 24 22 20 23 18 25 W pierwszym kwadracie suma magiczna, czyli suma liczb poszczególnych rzędów, kolumn oraz przekątnych, wynosi 15; w drugim kwadracie dodajemy do każdej liczby po 17 i suma magiczna wynosi:

mnożymy przez 2 i otrzymujemy kwadrat: Jeżeli pomnożymy lub podzielimy wszystkie jego składniki przez jakąś liczbę to kwadrat pozostanie również magiczny. 19 26 21 24 22 20 23 18 25 mnożymy przez 2 i otrzymujemy kwadrat: 38 52 42 48 44 40 46 36 50 Np. każdą liczbę w kwadracie

Z dwóch kwadratów możemy otrzymać trzeci kwadrat magiczny przez sumowanie liczb stojących w analogicznych polach: 19 26 21 24 22 20 23 18 25 2 9 4 7 5 3 6 1 8 21 35 25 31 27 23 29 19 33 + = Suma magiczna takiego kwadratu równa się sumie sum magicznych obu składników, czyli 15 + 66 = 81.

Kwadrat pozostaje kwadratem magicznym jeżeli poprzestawiamy jego kolumny oraz szeregi leżące symetrycznie względem środka kwadratu. Na przykład: 14 7 1 12 9 4 6 15 8 13 11 2 3 10 16 5 12 7 1 14 15 4 6 9 2 13 11 8 5 10 16 3 5 10 16 3 15 4 6 9 2 13 11 8 12 7 1 14 W pierwszym z tych kwadratów przestawiliśmy kolumny pierwszą i czwartą; powstał kwadrat drugi, w którym zachowała się suma wyrazów w każdym wierszu i w każdej kolumnie, ale nie zachowała się suma na przekątnych. Jeśli teraz w drugim kwadracie przestawimy wiersze pierwszy i czwarty, to otrzymamy kwadrat trzeci, już doskonale magiczny.

Przykładem takiego kwadratu jest: Suma magiczna każdego kwadratu zestawionego z ciągu arytmetycznego, czyli ciągu kolejnych liczb różniących się między sobą o tę samą liczbę równa się połowie sumy pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożonej przez liczbę podziałek boku kwadratu. Przykładem takiego kwadratu jest: 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Składa się on z odpowiednio ustawionych liczb od 1 do 9 (zatem ustawione rosnąco różnią się między sobą o 1). Wykorzystując wymienioną własność możemy obliczyć sumę:

Istnieją kwadraty, w których możemy mówić o iloczynie magicznym Istnieją kwadraty, w których możemy mówić o iloczynie magicznym. Kwadrat taki jest zbudowany z liczb naturalnych, tak, że każda z tych liczb jest większa od poprzedniej tyle samo razy, jeśli zostaną one ustawione rosnąco. Przykładem takiego kwadratu jest poniższy: 2 256 8 64 16 4 32 1 128 Iloczyn liczb zapisanych w każdej z kolumn, każdym z wierszy oraz na każdej przekątnej wynosi 4096.

Dziękujemy