Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Modelowanie i symulacja
Advertisements

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty
Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Ilustracja obliczania całek oznaczonych metodą Monte Carlo
Równanie różniczkowe zupełne i równania do niego sprowadzalne
Dany jest układ różniczkowych
Równania różniczkowe cząstkowe
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Temat: Ruch jednostajny
Metoda elementów skończonych cd.
Metody Numeryczne Wykład no 12.
Przykład Równanie wahadła: Niech =1s -2 Warunki początkowe: około 86°
Przykład: Dana jest linia długa o długości L 0 bez strat o stałych kilometrycznych L,C.Na początku linii zostaje załączona siła elektromotoryczna e(t),
Wykład no 11.
Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci:
Metoda węzłowa w SPICE.
Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci:
ZLICZANIE cz. II.
„METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0”
Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp
Ogólne zadanie rachunku wyrównawczego
Metody Sztucznej Inteligencji w Sterowaniu 2009/2010Optymalizacja miary efektywności działania sztucznych sieci neuronowych Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz,
Systemy dynamiczneOdpowiedzi systemów – modele różniczkowe i różnicowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Systemy.
Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU
Sieci neuronowe jednokierunkowe wielowarstwowe
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej
Metoda różnic skończonych I
Dane do obliczeń.
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.. Analiza danych Aproksymacja danych.
Obserwatory zredukowane
Rozważaliśmy w dziedzinie czasu zachowanie się w przedziale czasu od t0 do t obiektu dynamicznego opisywanego równaniem różniczkowym Obiekt u(t) y(t) (1a)
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli
Zakładamy a priori istnienie rozwiązania α układu równań.
Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych:
Modelowanie i identyfikacja 2010/2011Optymalizacja miary efektywności działania sztucznych sieci neuronowych Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra.
Miary efektywności/miary dobroci/kryteria jakości działania SSN
Ostyganie sześcianu Współrzędne kartezjańskie – rozdzielenie zmiennych
Wprowadzenie do ODEs w MATLAB-ie
Stabilność metod numerycznych
Źródła błędów w obliczeniach numerycznych
Teoria sterowania 2013/2014Sterowanie – obserwatory zredukowane II  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Obserwatory.
Henryk Rusinowski, Marcin Plis
Rozwiązywanie układów równań liniowych różnymi metodami
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 3. Całkowanie numeryczne.
Dynamika ruchu płaskiego
METHOD OF LINES (MOL) Poznan University of Life Sciences Department of Hydraulic and Sanitary Engineering Hamdi, Schiesser & Griffiths:
Tematyka zajęć LITERATURA
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych
Wykład 6 Dr Aneta Polewko-Klim
U(t) t  t u’(t)=f(t,u) u(t+  t)=u(t)+  (t,u(t),  t) RRZ: Jednokrokowy schemat różnicowy.
Na szczęście nie jesteśmy skazani na iterację funkcjonalną 2)metoda Newtona-Raphsona (stycznych) szukamy zera równania nieliniowegoF(x) F(x n +  x)=F(x.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Temat – 5 Modelowanie różniczkowe.
Modelowanie i podstawy identyfikacji
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Analiza numeryczna i symulacja systemów
Podstawy automatyki I Wykład /2016
jest najbardziej efektywną i godną zaufania metodą,
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej
Jednorównaniowy model regresji liniowej
Sterowanie procesami ciągłymi
2. Ruch 2.1. Położenie i tor Ruch lub spoczynek to pojęcia względne.
Zapis prezentacji:

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych

Rozwiązywanie równań różniczkowych Metody klasy Rungego-Kutty

Zalety metod klasy Rungego-Kutty Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń

Zasada metod klasy Rungego-Kutty Bezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka h na N części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędu z zachowaniem założonej dokładności.

Zasada metod klasy Rungego-Kutty Przyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowie zależnej od rzędu metody R-K Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać: w którym: Parametry: a, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3 Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)

Zasada metod klasy Rungego-Kutty F(x0,y0) to środek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2: Po podstawieniu do wzoru na k2: I ostatecznie do wzoru na K

Zasada metod klasy Rungego-Kutty Ponieważ: Aby wyznaczyć parametry a, b, n, m trzeba porównać z rozwinięciem k

Zasada metod klasy Rungego-Kutty Można „dowolnie” przyjąć 1 wartość Przyjmijmy m=1 otrzymamy: b = ½ a= ½ n = 1

Zasada metod klasy Rungego-Kutty Ogólnie:

Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Wektor wartości w kroku i -tym

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Funkcja wektorowa (prawe strony równań)

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Wektory współczynników

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Podstawmy

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Funkcja wektorowa: i-ty wektor wartości

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Wektory współczynników:

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Wektory współczynników:

Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

Metoda Rungego-Kutty algorytm Czytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n h=(xk - x0)/n. Przyjmij i=0 Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1), k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3) Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) Oblicz yi+1=yi+K xi+1 = xi+h Zwiększ i o 1 Jeżeli i<n idź do punktu 4 Drukuj xj, yj Jeżeli i<=n idź do punktu11 Koniec