Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli

Prezentacja na temat: "Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli"— Zapis prezentacji:

1 Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli Odwzorowania równokątne Odwzorowania równopolowe odwzorowania równoodległościowe

2 Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli Odwzorowania powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli są głównie stosowane jako odwzorowania pośrednie w odwzorowaniach podwójnych elipsoidy obrotowej w płaszczyznę. W odwzorowaniach podwójnych pierwszym etapem jest odwzorowanie powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli a następnie odwzorowanie powierzchni kuli na płaszczyznę. Takie odwzorowania są przydatne głównie, gdy stosuje się odwzorowania ukośne i jednocześnie zachodzi potrzeba uwzględnienia elipsoidalnego kształtu Ziemi. Funkcje w odwzorowaniach powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli uzyskuje się w wyniku rozwiązywania układów równań różniczkowych, wynikających z porównywania odpowiadających sobie współczynników form kwadratowych tych powierzchni.

3 Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli Kwadrat elementu łuku powierzchni elipsoidy ma postać: gdzie: Kwadrat elementu łuku powierzchni kuli ma postać: gdzie:

4 Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli mają postać: Obliczamy pochodne po B i L

5 Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania elipsoidy obrotowej na powierzchnię kuli Stąd wyznaczamy wielkości podstawowe pierwszego rzędu:

6 Odwzorowania równokątne powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania równokątne powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli Na podstawie warunku równokątności otrzymujemy Jeżeli przyjmiemy, że południki układu geograficznego odwzorowują się na południki układu geodezyjnego, w taki sposób, że = L wówczas

7 Odwzorowania równokątne powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania równokątne powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli stąd otrzymamy następujące równanie różniczkowe Z powyższego równania różniczkowego otrzymujemy następujące rozwiązanie Przyjmując, że równik elipsoidy odwzorowuje się na równik kuli otrzymujemy następujące zależności pomiędzy współrzędnymi geograficznymi i współrzędnymi geodezyjnymi w odwzorowaniu równokątnym

8 Odwzorowanie równopolowe powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowanie równopolowe powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli Z warunku równopolowości odwzorowania otrzymujemy Jeżeli przyjmiemy, że południki układu geograficznego odwzorowują się na południki układu geodezyjnego, w taki sposób, że = L wówczas

9 Odwzorowanie równopolowe powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowanie równopolowe powierzchni elipsoidy na powierzchnię kuli stąd otrzymamy następujące równanie różniczkowe Z powyższego równania różniczkowego otrzymujemy następujące rozwiązanie

10 Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli
Odwzorowania równoodległościowe w kierunku wyróżnionej jednoparametrowej rodziny linii Warunek odwzorowania równoodległościowego ma postać:

11 Odwzorowania równoodległościowe w kierunku południków
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania równoodległościowe w kierunku południków W przypadku dla A = 0 linie L = const zachowują swoją długość; warunek równoodległościowości przyjmuje postać: stąd otrzymujemy następujące równanie różniczkowe Na tej podstawie możemy napisać następującą całkę Po prawej stronie otrzymujemy wzór na długość łuku południka, możemy więc zastosować następujące rozwiązanie

12 Odwzorowania równoodległościowe w kierunku południków
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania równoodległościowe w kierunku południków gdzie:

13 Odwzorowania równoodległościowe w kierunku równoleżników
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania równoodległościowe w kierunku równoleżników W przypadku dla A = 90 linie B = const zachowują swoją długość; warunek równoodległościowości przyjmuje postać: stąd otrzymujemy następujące równanie różniczkowe Jeżeli przyjmiemy, że południki układu geograficznego odwzorowują się na południki układu geodezyjnego, w taki sposób, że = L wówczas

14 Odwzorowania równoodległościowe w kierunku równoleżników
Wykład 13. Odwzorowania elipsoidy na powierzchnię kuli Odwzorowania równoodległościowe w kierunku równoleżników Otrzymujemy następujące równanie Wzory przedstawiające zależności pomiędzy współrzędnymi geograficznym a współrzędnymi geodezyjnymi mają więc postać