ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 2.

Zagadnienie brzegowe Problem dotyczy równań różniczkowych rzędu co najmniej II lub układów równań różniczkowych Warunki brzegowe podane są na przeciwległych końcach przedziału rozwiązania Metody numeryczne (zwykle) wymagają warunków początkowych (skupionych w jednym miejscu)

Zagadnienie brzegowe Równanie różniczkowe II-go rzędu Ma dwa warunki brzegowe. Mogą one dotyczyć różnych punktów przedziału dla a b A B dla

Zagadnienie brzegowe Inny typ warunków brzegowych a b dla B dla tga=A Wspólczynnik kierunkowy – slope of a straight line tga=A

Zagadnienie brzegowe Aby wystartować z obliczeniami potrzebne są warunki takie jak poniżej a b dla dla Wspólczynnik kierunkowy – slope of a straight line B tga=A

Warunki do odgadnięcia Zagadnienie brzegowe Konieczne jest znalezienie brakujących wartości na jednym z krańców przedziału Warunki dane Warunki do odgadnięcia yA, yB y’A lub y’B yA, y’B y’A lub yB y’A, yB yA lub y’B Wspólczynnik kierunkowy – slope of a straight line

Zagadnienie brzegowe Jak określić brakujące wartości początkowe??!! Założyć brakujące wartości Przeprowadzić obliczenia dowolna metodą do końca przedziału obliczamy różnicę wyliczone i danej wartości zmiennej zależnej na końcu przedziału Jeżeli różnica jest zbyt duża to zmienić założone wartości początkowe i przejść do punktu 2 Wspólczynnik kierunkowy – slope of a straight line

Zagadnienie brzegowe Przykład: Dla poniższego układu dwóch równań różniczkowych dane są warunki brzegowe (przedział <a,b>): y1a, y1b Aby rozpocząć obliczenia potrzebna jest wartość y2a Zakładamy y2a Obliczamy y1, y2 aż x osiągnie wartość b Obliczami różnicę e= |y2b(obliczone)-y2b,(dane)| Jeżeli e>edop zmieniamy y2a i powrót do p. 2 Wspólczynnik kierunkowy – slope of a straight line

Zagadnienie brzegowe Elementy potrzebne by rozwiązać zagadnienie brzegowe: Układ równań Granice przedziału rozwiązania układu równań Wartości zgadywane warunku początkowego Znane startowe wartości punktu początkowego Funkcja obliczająca błąd na przeciwległej do startowego granicy przedziału Wspólczynnik kierunkowy – slope of a straight line

Zagadnienie brzegowe W MathCADzie do znajdowania brakujących warunków startowych służy procedura sbval(v, a, b, D, S, B) v – wektor startowy poszukiwanych wartości w punkcie startowym a a, b – granice obszaru rozwiązania D – wektor prawych stron równań układu rr. I-go rzędu, zmienne zależne muszą być typu wektorowego S – funkcja wektorowa definiująca wszystkie warunki początkowe w punkcie rozpoczęcia obliczeń, pierwszym argumentem jest dowolna zmienna drugim argumentem musi być wektor v a jej elementami składowe tego wektora i znane warunki początkowe B – funkcja, określająca błąd (różnice między wartościami obliczonych i danymi) na drugim krańcu przedziału Drugim argumentem jest wektor zmiennych zależnych

Zagadnienie brzegowe Wynik działania procedury sbval(v, a, b, D, S, B) to wektor BRAKUJĄCYCH wartości warunku początkowego

Zagadnienie brzegowe y01 – wartość funkcji w punkcie startowym y12 – wartość pochodnej funkcji w punkcie końcowym

Zagadnienie brzegowe

MathCAD Obliczenia symboliczne Obliczenia symboliczne wywołuje się z palety Symbolic lub kombinację klawiszy: [ctrl][.] operacje bezpośrednie [shift][ctrl][.] operacje złożone (z dodatkowym poleceniem)

Obliczenia symboliczne proste Dotyczące macierzy Obliczenia granic Sumy Iloczynu Całkowanie nieoznaczone Różniczkowanie

UWAGA: przed operacją symboliczną NIE MOŻE być przypisana wartość zmiennej niezależnej! Przypisanie wartości parametrom spowoduje podstawienie ich podczas operacji symbolicznej

Wybrane operacje symboliczne złożone Podstawienie Wpisać równanie, [ctrl][shift][.] substitute, równanie_podstawienia Wymnażanie Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] expand Rozkład wyrażeń/liczb na czynniki Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] factor Upraszczanie Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] simplify

Wybrane operacje symboliczne złożone Rozkład na ułamki proste Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] convert,parfrac, zmienna Rozwijanie w szereg Taylora Wpisać wyrażenie, [ctrl][shift][.] series, zmienna = punkt, rząd_rozwinięcia Rozwiązywanie równań Wpisać wyrażenie [ctrl][shift][.] solve, zmienna Zakłada wynik wyrażenia równy 0

Operacje symboliczne złożone Rozwiązywanie układów równań Wpisać Given Wpisać równania find(zmienna1, zmienna2,..) [ctrl][.]

Obliczenia z wykorzystaniem jednostek miar MathCAD dysponuje jednostkami w układzie SI, MKS, CGS i U.S. Do liczby jednostkę dopisuje się za liczbą, MathCAD dodaje SAM znak mnożenia, który znika po zatwierdzeniu [Enter] Program zna większość przeliczników jednostek. Można też je definiować: Jednostka_pochodna:=mnożnik*jednostka_podstawowa, np.: kPa:=1000*Pa Niezależnie od jednostek użytych w danych wynik jest podany w jednostkach podstawowych z aktualnie wybranego układu jednostek miar

Obliczenia z wykorzystaniem jednostek miar

Można zmienić jednostkę wyświetlania wyniku kliknąć w wynik W pustym polu (czarny prostokąt) wpisać pożądaną jednostkę

Dane do obliczeń

Korzystanie z tabel danych Tablice w formacie swobodnym: podobne do macierzy lecz z możliwością dynamicznej zmiany ilości wierszy i kolumn Menu: Insert/Component/Input Table

Korzystanie z tabel danych

Korzystanie z tabel danych Zewnętrzne pliki z danymi, pliki w formatach rozpoznawalnych przez MathCADa (text, MatLab, QuattroPro, Lotus123, dBaseIII) Menu: Insert/Component/File Read or Write

Korzystanie z tabel danych

Korzystanie z tabel danych Arkusze Excela, umożliwiają operacje dostępne w Excelu. Należy podać zakres komórek, w których mieszczą się dane wyjściowe. Zakresów może być kilka Każdy zakres to osobna zmienna Wszystkie zmienne tworzą wektor, który wypełnia się nazwami zmiennych Wywołanie zmiennych jak dla zmiennych wektorowych lub macierzowych Zawartość może być zarówno liczbą jak i tekstem

Wektor zmiennych

Korzystanie z danych zewnętrznych do obliczeń w MathCADzie Dane zewnętrzne do obliczeń w MathCADzie to zwykłe pliki MathCADa z odpowiednią zawartością Dostęp do tych plików umożliwia dołączenie pliku poprzez menu: Insert/References, w okienku wpisuje się adres pliku (można skorzystać z wyszukiwania: Browse)

Korzystanie z danych zewnętrznych do obliczeń w MathCADzie Arkusz dołączony korzysta ze zmiennych arkusz głównego jak i własnych, które obowiązują w arkuszu głównym poniżej miejsca dołączenia Arkusz dołączony przyjmuje ustawienia arkusza głównego (ważne np. przy wykorzystaniu indeksów macierzowych) Adres pliku dołączonego może być bezwzględny lub względny (odniesiony do położenia pliku głównego). Opcja dostępna jest po zapisaniu pliku głównego na dysku.