o równaniach , Kilka uwag o równaniach równoważnych. twierdzeniach Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Algebra szkolna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie, i mnożenie ; wprowadza pojęcie zmiennej, wielomianu i znajdowaniem ich pierwiastków. Jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym, zajmuje się strukturami algebraicznymi np. grupą, pierścieniem, ciałem którymi zajmujemy się w niektórych prezentacjach, np. @ Działania, własności działań. @ W ostatnich prezentacjach zajmujemy się teorią rozwiązywania najprostszych równań tzn. liniowych. Przy rozwiązywaniu równań nieodzowna jest mechaniczna, techniczna umiejętność przekształcania równań, ale ….. już na poziomie gimnazjum a na pewno w pierwszej klasie liceum, powinno się zwrócić uwagę na teoretyczne uzasadnienie dotychczas wykonywanych operacji, przy rozwiązywaniu równań i nierówności. Przypomnijmy poznane pojęcia w poprzednich prezentacjach.

1. Co to jest równanie ? Równaniem nazywamy funkcję zdaniową postaci gdzie są funkcjami zmiennej x. Liczbę, która spełnia równanie (nierówność) tzn. po jej podstawieniu w miejsce niewiadomej, równanie zamieni się na zdanie prawdziwe, nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania (nierówności ). Rozwiązując równanie, jedno równanie zastępujemy drugim. Jaka jest zależność między tymi równaniami ? Równania, które mają dokładnie te same zbiory rozwiązań nazywamy równaniami równoważnymi. Skąd wiemy, że konstruowane przez nas nowe równania są równoważne danemu ? Fakt ten wynika z udowodnionych przez nas twierdzeń o równaniach równoważnych : 1. Jeżeli w równaniu funkcję zastąpimy funkcją równą jej tożsamościowo, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

2. 3. Jeżeli do obu stron równania dodamy tą samą funkcję której dziedzina zawiera się w dziedzinie równania, to otrzymamy równanie równoważne danemu. 3. Jeżeli obie strony równania pomnożymy (podzielimy) przez tą samą funkcję o wartościach różnych od zera, i której dziedzina zawiera się w dziedzinie równania, to otrzymamy równanie równoważne danemu. Czy te twierdzenia pozwolą rozwiązać dowolne równanie ? Oczywiście, że nie. Już w poprzednich prezentacjach stosowaliśmy intuicyjnie, na „słowo”, twierdzenie o pierwiastkowaniu obu stron równania. Zgodnie z zapowiedzią i zgodnie z naszą zasadą, by nasze działania matematyczne były poprawne, uzasadnimy dalsze twierdzenia. Zacznijmy od wcześniejszej operacji od pierwiastkowania, a mianowicie od potęgowania, a nawet skromniej, od podnoszenia obu stron równania do kwadratu. Czy

Czy Dowód jest najkrótszy, gdy mamy kontrprzykład. Sądzę, że wszyscy taki mają. Np. Jedynym pierwiastkiem pierwszego równania jest 2 , a zbiór rozwiązań drugiego jest dwuelementowy Zatem równania nie są równoważne. Ale przecież jest oczywiste, że chcemy obie strony równania podnosić do kwadratu. Co zrobić ? Zmodyfikować nietrafione twierdzenie. Od dawna wiemy ( tw. arytmetyki ), że Kiedy zachodzi ta równoważność ? Gdy to równanie nie ma rozwiązania. Czasem mówimy wtedy, że równanie jest pusto spełnione. Zapiszmy to twierdzenie wygodnie, symbolicznie : Tw. 4.

To twierdzenie będziemy stosować rozwiązując zwłaszcza równania z pierwiastkami, np. Równanie rozwiązujemy metodą równań równoważnych. Należy uwolnić się od pierwiastków. Tylko jak ? Podnieść obie strony równania do kwadratu ( o ile można ). W tym przypadku można, bo nie ma rozw. ( jak od większej liczby odejmiemy mniejszą, to nie otrzymamy liczby ujemnej ) Czy uwolnimy się od pierwiastków ? Kto odpowie tak, ten zapomniał wzoru na kwadrat różnicy. Pozostanie jeden pierwiastek, ale pod pierwiastkiem będzie wyrażenie bardziej skomplikowane ( iloczyn ). Wygodnie jest izolować pierwiastek. tw. 2 tw. 4 nie ma rozw. tw. 1 tw. 2,1 tw. 4 izolujemy pierwiastek tw. 1 tw. 3 nie ma rozw. Rozwiązaniem równania jest liczba

Rozwiązaliśmy równanie metodą równań równoważnych. Warto i trzeba zaznaczyć, że równanie można rozwiązać inaczej a nawet prościej. Równania ( nierówności ) możemy rozwiązywać metodą analizy starożytnych. Zaprezentujemy ją na końcu prezentacji. Od pierwiastków można uciec, wprowadzając niewiadome pomocnicze. Niech wtedy Ten układ potrafi rozwiązać gimnazjalista. Powróćmy do analogicznego tw. 4 ale dla nierówności. Czy ? Oczywiście, że nie. Do uzasadnienia wystarcza wiedza ze szkoły podstawowej. Tw. 4a. Łatwo sformułować twierdzenie : Tw. 4b. analogicznie

Teraz kolej na pierwiastkowanie obu stron równania. Z definicji pierwiastka i własności funkcji wynika twierdzenie : Tw. 5. I dla nierówności : Tw. 5a. analogicznie Mamy twierdzenia, które pozwalają rozwiązać prawie każde równanie czy nierówność. Ponieważ prawie zawsze równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych, nie będziemy tego sygnalizować przy każdym rozwiązaniu, ale w razie potrzeby, należy o tym pamiętać. Dla wprawy w tej prezentacji będziemy zaznaczać z jakich twierdzeń o równaniach równoważnych korzystaliśmy. Rozwiąż równanie :

* Można i większość tak postąpi, wykonać widoczne działania, ale spostrzegawczy dostrzeże, że wygodniej będzie zastosować wzór na różnicę sześcianów tw. 1 tw. 1 tw. 2 , 1 tw. 3 Rozwiązaniem równania jest Rozwiążmy równania i nierówności: tw. 1 tw. 2 tw. 5a * Ta nierówność wygodnie zapisać jako nierówność równoczesną Do trzech wyrażeń ( lewej, prawej i środkowej ) dodajemy 3. Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z

* * * Rozwiązaniem równania jest Rozwiązaniem równania jest 4. tw. 3 tw. 2,1 Obie strony równania mnożymy przez 9. tw. 1 Należy rozpatrzyć przypadki co do znaku prawej strony równania. Rozwiązaniem równania jest * Postępujemy tak jak przy zwykłych ułamkach, rozkładamy mianowniki na czynniki. szukamy NWW mianowników. Obie strony równania mnożymy przez NWW. tw. 3 tw. 2,1 tw. 3 Rozwiązaniem równania jest 4. * Jak wyżej tw. 3 tw.2, 1 tw. 3 Rozwiązaniem równania jest 1.

* Ponieważ tego typu nierówności ( równania ) na ogół będziemy rozwiązywać podobnie ( wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi mogą mieć różną postać ), pokażmy jeszcze raz sposób postępowania. Kreślimy wykresy funkcji, które występują pod wartościami bezwzględnymi ( czasem mówimy ogólniej pod modułami ). _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + + + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + + W tym przypadku proste są równoległe i nachylone do osi x pod kątem Z wykresów widać jakie znaki przyjmują wartości tych funkcji w poszczególnych przedziałach. Widać też, że należy rozpatrzyć cztery przypadki ( cztery przedziały ), cztery alternatywy koniunkcji. i tak dalej …. Warto to zapamiętać, nie tylko do matury.

Po tych ćwiczeniach widać, że niektóre równania o trochę nowej dla nas postaci potrafimy rozwiązywać. Zdajemy sobie sprawę, że są one tak dobrane, aby po ich przekształceniach otrzymać równanie liniowe. Najwyższy czas by zastanowić się, „ co z innymi równaniami” ? Gdy będziemy mieli równanie kwadratowe, to już sobie z nim poradzimy. A co zrobić, gdy otrzymamy równanie wyższego stopnia ? W tej chwili odpowiedzi nie uzyskamy. Tą wiedzę będziemy zdobywać w trakcie poznawania nowych pojęć, nowych operacji, nowych funkcji, nowych równań. Wiadomo, że recepty na rozwiązywanie trudniejszych równań będą coraz bardziej skomplikowane I sposobu do rozwiązania wszystkich równań nie ma co się spodziewać. Mimo tego, postarajmy się już teraz, przewidzieć typowe postępowanie przy rozwiązywaniu typowych równań tzn. tych z którymi spotkamy się w szkole.

Mamy równania : Z rozwiązaniem którego równania nie ma problemów uczeń szkoły podstawowej ? Oczywiście, drugiego. Dlaczego ? Bo każdy co najmniej już w zerówce wiedział, kiedy iloczyn jest równy zeru. Wyjaśnijmy ten problem wracając do podstawowych własności działań na liczbach. Kiedy suma kilku liczb jest równa zeru ? Licealiści mają kłopot z odpowiedzią na to pytanie. Wtedy, zadaję to samo pytanie inaczej sformułowane : co powiemy o liczbach a, b, c, d, gdy Odpowiedzi na ogół nie ma, bo odpowiedź jest nietypowa, bo takich odpowiedzi w szkole nie słychać. Nic, no prawie nic. Wiadomo tylko, że liczby nie mogą być tego samego znaku. Ale ta informacja nie pomoże rozwiązać równanie. A co powiemy o liczbach a, b, c, d, gdy

Co powiemy o liczbach a, b, c, d, gdy Odpowiedź zna nawet przedszkolak. I to jest podstawowy sposób rozwiązywania równań, sumę przekształcić na iloczyn równy zeru. Następne pytanie : „ jak z sumy otrzymać iloczyn ?” O przekształceniu sumy na iloczyn, uczeń dowiaduje się o tym w drugiej klasie liceum, a najprostszy sposób poznał już w drugiej klasie szkoły podstawowej. Drugi podstawowy sposób zamiany sumy na iloczyn ( rozkładu sumy na czynniki ), pokazuje nauczyciel w liceum, choć uczeń znał go w szkole podstawowej. Sposób ten nazywa się sposobem grupowania. Skrótowo przypomnijmy. Jak pomnożyć wszyscy wiedzą. Na pytanie : „ skąd ten wynik ?”, odpowiedzi brak. Po przypomnieniu prawa poznanego w kl. 2 szk.podst. przy okazji mnożenia uczniowie uzupełniają

Pójście tą drogą w przeciwną stronę, łączenie w grupy, w obrębie grup wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, wspólny czynnik w nawiasie jeszcze raz wyłączamy ( nawias przed nawias ), nazywamy rozkładem na czynniki sposobem grupowania. Pokażmy właśnie, że równanie : potrafi rozwiązać gimnazjalista. Rozwiązaniami równania są liczby : 1, 2, -2. Szczególne przypadki drugiego podstawowego sposobu rozwiązywania równań już stosowaliśmy. Wykonywaliśmy te same operacje na obu stronach równania. Pytanie : czy ten pomysł da się uogólnić ? Czy Wystarcza powołać się na tw. 4 oraz tw. 5, by stwierdzić, że to fałsz. Co nie oznacza, że nie jest prawdziwe dla funkcji o szczególnej własności ( np. różnowartościowej ).

Do sformułowania takiego twierdzenia powrócimy po zdefiniowaniu nowych działań, nowych operacji. Z następnym podstawowym sposobem rozwiązywania równań spotkaliśmy się już w pierwszej prezentacji o równaniach. Wtedy sugerowałem by zanim przystąpimy do mechanicznego rozwiązywania równania, przyjrzeć się jego postaci. Te równania dają się łatwo sprowadzić, poprzez odpowiednie podstawienie, do równań o prostszej postaci. Ponieważ z tymi równaniami spotkamy się w następnej prezentacji, rozwiążmy tym sposobem inne równanie. W pierwszym momencie, prawie wszyscy będą się chcieli pozbyć pierwiastka izolując go i potem obie strony równania podnieść do kwadratu. Ale dlaczego to równanie ma taką nietypową postać.

Równanie ma dziwną postać ( jak ja to określam ) dla zmylenia przeciwnika ( ucznia ). Gdyby autor równanie napisałby w normalnej postaci to prawie każdy zauważyłby, że mamy te same wyrażenia. Mamy już pomysł rozwiązywania a raczej podstawienia, ale równanie powinniśmy zacząć od wyznaczenia jego dziedziny. Niech Wtedy Dalej już wiadomo co zrobić. Od szkoły podstawowej znamy sposób rozwiązywania równania i nierówności liniowych. Od teraz już rozwiązujemy i będziemy rozwiązywać równania bardziej skomplikowanej postaci.

1. przekształcenie równania do postaci : Do rozwiązywania równań o nowej postaci, nie pomogą dotychczasowe sposoby. Omówione ostatnio podstawowe sposoby rozwiązywania równań i nierówności, będą często potrzebne w przyszłości, nie tylko na lekcjach matematyki i fizyki. Te sposoby to : 1. przekształcenie równania do postaci : 2. wprowadzenie nowej niewiadomej 3. równość operacji na wyrażeniach Ilustracją trzeciego sposobu są proste przykłady : Ten sposób wymaga, jak już wspomnieliśmy, doprecyzowania, uściślenia warunków jego stosowania. Na koniec prezentacji pokażmy, że czasem nie trzeba znać żadnych sposobów rozwiązywania równań by rozwiązać.

Czasem, nie trzeba znać sposobów rozwiązywania, ale trzeba wnikliwie popatrzeć, mieć trochę wiedzy i myśleć. Rozwiązać równanie Niewiele różniące się od tego równania ( minus między pierwiastkami ) rozwiązywaliśmy w tej prezentacji. Niewielka zmiana, kolosalna różnica, bo …. Oraz I widać, że nie ma rozwiązania. Lewa strona jest większa od 1, a prawa mniejsza od 1. Choć równania i nierówności rozwiązujemy najczęściej metodą równań ( nierówności ) równoważnych, przy której konieczne jest zwracanie uwagi na dziedzinę równania i funkcji, którą dodajemy lub przez którą mnożymy obie strony równania. Jest to czasem uciążliwe, dlatego czasem warto równanie rozwiązać sygnalizowaną już metodą, której nazwa świadczy od kiedy jest stosowana. Nazwana jest metodą analizy starożytnych.

metodą analizy starożytnych. Rozwiążmy równanie Przy metodzie równań równoważnych musielibyśmy wyznaczyć dziedzinę równania, rozpatrzyć przypadki i zwracać uwagę na założenia stosowanych twierdzeń. Niestety często w ferworze przekształcania równań, zapominamy o tym. Okaże się, że można sobie na to pozwolić. Załóżmy, że a jest pierwiastkiem równania. To oznacza, że jest prawdziwą równością liczbową. Znikło równanie ( funkcja zdaniowa ), pojawiły się liczby i prawdziwa równość liczbowa. Teraz możemy wykonywać operacje na liczbach, które znamy już od szkoły podstawowej. Wiemy z arytmetyki, że jak liczby są równe, to ich kwadraty są równe i tak dalej ….. Stąd Czy rozwiązaniami równania są liczby 2 , -2 ? Niewiadomo, bo …..

Bo założyliśmy, że równanie ma pierwiastki, nie mając pojęcia czy równanie ma pierwiastki i ewentualnie ile ich ma. Uzyskaliśmy informację, że jeżeli równanie ma pierwiastki to mogą to być liczby 2 , -2. Co więcej, z naszego rozumowania wynika, że żadna inna liczba różna od 2 , -2, nie może być pierwiastkiem. Co nam pozostaje zrobić by znaleźć rozwiązanie ? Sprawdzić, jest czy nie. Sprawa jest prosta, bo mamy tylko dwóch kandydatów. podstawiamy -2 fałsz podstawiamy 2 prawda Rozwiązaniem równania jest 2. Jak widać, rozwiązując równanie metodą analizy starożytnych, nie musimy wyznaczać dziedziny równania, musimy natomiast sprawdzić, czy znalezione liczby spełniają równanie. Jest to metoda wygodna szczególnie w tych sytuacjach, w których jest trudne wyznaczenie dziedziny równania.

x jest pierwiastkiem równania Rozwiąż równanie : Równanie rozwiązujemy metodą analizy starożytnych, stosując twierdzenia arytmetyki. Najczęściej dla wygody zakładamy, x jest pierwiastkiem równania Postać wyrażeń ta sama, ale różnica ze względu na założenie jest kolosalna. Pierwsze wyrażenie to równanie ( funkcja zdaniowa ) gdzie x jest zmienną, a drugie wyrażenie jest równością arytmetyczną, gdzie x jest liczbą. Izolujemy pierwiastek Kandydatami na pierwiastki są liczby : 0 , 3 . fałsz Sprawdzamy : prawda Rozwiązaniem równania jest 3 .

1. przekształcanie wyrażeń do prostszych postaci, np. W tej prezentacji żebraliśmy prawie całą teorię rozwiązywania równań i nierówności. Oczywiście w przyszłości poznając nowe funkcje, nowe typy równań, będziemy musieli wiedzę z tego zakresu uzupełnić. Ale będą to tylko naturalne dopowiedzenia. Podstawowe umiejętności użyteczne przy rozwiązywaniu równań i nierówności, to 1. przekształcanie wyrażeń do prostszych postaci, np. 2. do postaci iloczynu funkcji równego zeru, np. 3. zauważenie w równaniach wyrażeń za które można wprowadzić niewiadome pomocnicze, np. Niech Wtedy 4. bądź zaobserwowanie, że po obu stronach równania występują te same operacje, np.

Koniec prezentacji Zapraszam Warto zaznaczyć, że gdybyśmy nie zauważyli iż można zastosować wzór na sześcian różnicy, nie rozwiązalibyśmy tego równania. Następna prezentacja to : @ Równania kwadratowe. @ Zapraszam Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl tel. 14 690 87 61 Koniec prezentacji