Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych Podamy kilka przykładów modeli systemów dynamicznych budowanych w oparciu o wykorzystanie praw zachowania Systemy dynamiczne leżące w obszarze naszych zainteresowań – systemy techniczne, środowiskowe … są różnej natury Wśród systemów technicznych możemy wyróżnić systemy: mechaniczne elektryczne elektromechaniczne płynowe (gazy, ciecze) cieplne ........

Co różni modele matematyczne tych systemów? charakter najczęściej stosowanych przybliżeń „technologie” wyboru zmiennych modelu stosowane równania równowagi i spójności stosowane zależności wiążące zmienne poszczególnych elementów systemu W podręczniku: Robert H. Cannon jr., Dynamika układów fizycznych – przedstawione są szczegółowe procedury precyzujące wymienione elementy budowy modeli matematycznych dla różnych systemów technicznych

Systemy elektryczne – przykładowe modele Pokażemy jak korzystając z praw Kirchhoff’a (przykład praw zachowania) można budować fenomenologiczne modele systemów elektrycznych Prawa zachowania A B C Z eAZ eBA eZC A B C iB iA iC Równanie spójności Równanie równowagi

Przekładnik (transformator) Elementy elektryczne i odpowiadające im zależności wiążące Źródło napięcia Źródło prądu Rezystor Indukcyjność Pojemność Przekładnik (transformator)

Przykład 1. Dany jest układ nie obciążanego prądowo czwórnika RLC Cel modelowania: Interesuje nas zależność pomiędzy napięciem wejściowym a napięciem wyjściowym Prawo zachowania – równanie spójności dla wejściowego oczka (II prawo Kirchhoff’a)

Zależności wiążące dla poszczególnych elementów układu: Tożsamości: Z warunku nie obciążania prądowego czwórnika: Podstawienie:

Porządkując: Dla znalezienia rozwiązania potrzebne – warunki początkowe: Uzyskany model: model wejście - wyjście Postać standardowa: Warunki początkowe:

Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń: - wejście - parametry przy zmiennej wejścia - wyjście - parametry przy zmiennej wyjścia

Model: Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe niejednorodne (w dziedzinie czasu) Warunki początkowe Uzyskany model wejście – wyjście dany jest w formie równania różniczkowego (zwyczajnego) Postać standardowa: gdzie, , , Warunki początkowe

Czy można zapisać model wejście – wyjście w innej formie? Fakt: Uzyskany model wejście – wyjście jest liniowy i stacjonarny Poddajmy obustronnie uzyskany model transformacji Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych Otrzymamy równanie operatorowe w dziedzinie zmiennej zespolonej s: lub z postaci standardowej

W rozważanym przykładzie lub z postaci standardowej

Stąd łatwo inna forma modelu transmitancja operatorowa: lub w postaci standardowej Transmitancja widmowa: lub w postaci standardowej

W rozważanym przykładzie transmitancja operatorowa lub z postaci standardowej

W rozważanym przykładzie transmitancja widmowa lub z postaci standardowej

Różne formy modeli wejście – wyjście: - równanie różniczkowe - równanie operatorowe (system liniowy) - transmitancja operatorowa (system liniowy) - transmitancja widmowa (system liniowy) - …..

Modele wejście – wyjście  modele zewnętrzne Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść m – najwyższa pochodna wejść, n – najwyższa pochodna wyjść Ogólna struktura modelu zewnętrznego Warunek początkowy:

Model zewnętrzny macierzowo – system wielowymiarowy (MIMO): Warunek początkowy:

System jednowymiarowy – jedno wejście i jedno wyjście (SISO) Warunek początkowy: Rząd systemu – rząd najwyższej pochodnej wyjścia Wymiarowość systemu – określona liczbą wejść - wyjść

Przyjmijmy: Model rozważanego układu możemy zapisać: Stan układu: Warunki początkowe: Wyjście układu: Uzyskany model – model stanu (model przestrzeni stanu)

Wykorzystując pierwotne oznaczenia zmiennych: Równania stanu Równanie wyjścia Ostatecznie:

Modele stanu  modele wewnętrzne Niech: p – liczba wejść, q – liczba wyjść, n – liczba stanów Ogólna struktura modelu wewnętrznego Równania stanu: Wektor stanu Wektor wejścia Warunek początkowy: Równania wyjścia: Wektor wyjścia

Modele stanu – notacja wektorowa - równanie stanu - równanie wyjścia

Przyjmijmy ogólną konwencję oznaczeń: - wejście, wektor o wymiarze p, - wyjście, wektor o wymiarze q, - stan, wektor o wymiarze n,

Fakt: Uzyskany model stanu jest liniowy i stacjonarny Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego

: macierz stanu (systemu, dynamiki), stała, rzeczywista, wymiaru Ogólna struktura modelu wewnętrznego (stanu) liniowego stacjonarnego : macierz stanu (systemu, dynamiki), stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz wejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz wyjścia, stała, rzeczywista, wymiaru tzn. : macierz bezpośredniego przejścia (sterowania), stała, rzeczywista, wymiaru , tzn.

W rozważanym przykładzie Postać macierzowa

czyli

Systemy mechaniczne – przykładowe modele Pokażemy jak korzystając z praw Newton’a (przykład praw zachowania) można budować fenomenologiczne modele systemów mechanicznych Ruch postępowy Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać modele systemów mechanicznych z ruchem postępowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a gdzie sumowanie obejmuje wszystkie siły zewnętrzne działające ma masę m Jeżeli zdefiniować siłę bezwładności masy m Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a

Ruch postępowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności wiążące Masa Element sprężysty prostoliniowy ks – współczynnik sprężystości Element tłumiący prostoliniowy kt – współczynnik tłumienia Przekładnik (dźwignia)

Przykład 2. m1 m2 k1 k12 B12 B1 B2 x1 x2 f(t) m1 m2 f(t)

Model wejście - wyjście

Naturalny (fizykalny) wybór zmiennych stanu - jako zmienne stanu wybieramy wyjścia wszystkich integratorów prowadzących do uzyskania zmiennej z całkowania najwyższej pochodnej tej zmiennej; robimy to dla wszystkich zmiennych wyjścia Na przykład  i są zmiennymi stanu, nie jest zmienną stanu

Dla rozważanego przykładu, zmienne są naturalnymi zmiennymi stanu, które charakteryzują system

Model stanu: Jedno równanie dla pierwszej pochodnej każdej zmiennej stanu Dla rozważanego przykładu

Po uporządkowaniu: Równania stanu Warunki początkowe:

Zapis macierzowy Oznaczając: Możemy zapisać

Drugi składnik modelu przestrzeni stanu – równanie wyjścia Równania wyjścia oblicza wyjścia, to znaczy zmienne, które wybraliśmy do obserwacji (pomiarów) Weźmy w naszym przykładzie Wówczas lub macierzowo

Oznaczając: Możemy zapisać

Ruch obrotowy Prawo d’Alambert’a pozwala nam uzyskiwać również modele systemów mechanicznych z ruchem obrotowym – jest to inna postać II prawa dynamiki Newton’a dla ruchu obrotowego gdzie sumowanie obejmuje wszystkie momenty zewnętrzne działające ma ciało o bezwładności J Jeżeli zdefiniować moment bezwładności Otrzymujemy zapis prawa d’Alambert’a

Ruch obrotowy - elementy mechaniczne i odpowiadające im zależności wiążące Bezwładność Element sprężysty obrotowy ks – współczynnik sprężystości Element tłumiący obrotowy kt – współczynnik tłumienia Przekładnik (przekładnia zębata)

Przykład 3a – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał

- z II zasady dynamiki Newtona Konwencja: - z II prawa Kirchhoff’a lub

1 wejście: 5 zmiennych stanu: , , , , 1 wyjście:

Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu:

Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

Przykład 3b – model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Teraz

Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

Przykład 3c – model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Model podsystemu elektrycznego Model podsystemu mechanicznego bez zmian Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia

Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej:

Systemy elektromechaniczne – przykładowy model Cel modelowania: zbudować model obcowzbudnego silnika prądu stałego (SPS) pozwalający badać zachodzące w nim procesy przejściowe elektromechaniczne

Idealizacja trzech wyróżnionych podsystemów:  mechanicznego  elektrycznego – obwodu wzbudzenia  elektrycznego – obwodu twornika

Równania ruchu systemu – podsystem mechaniczny Prawo zachowania – równanie równowagi – II prawo dynamiki Newton’a : czas : bezwładność wypadkowa sprowadzona do wału silnika, czyli bezwładność obejmująca wirnik silnika i części ruchome układu napędzanego : prędkość kątowa wału silnika : moment napędowy działający na wał silnika : moment oporowy działający na wał silnika

Zależności wiążące Moment napędowy określony jest w teorii maszyn elektrycznych wzorem : współczynnik stały dla określonego silnika, zależny od jego danych konstrukcyjnych : strumień magnetyczny (strumień indukcji magnetycznej|) obwodu wzbudzenia : prąd twornika

Wybrane zmienne systemu: momenty obrotowe, prędkości i położenia kątowe, prądy, napięcia  należy wyrugować strumień magnetyczny obwodu wzbudzenia jako zmienną Charakterystyka magnesowania obwodu wzbudzenia Możemy napisać : funkcja magnesowania obwodu wzbudzenia oraz Przyjmiemy na razie, że moment oporowy jest dowolną funkcją czasu Otrzymane równanie ruchu podsystemu mechanicznego

Równania ruchu systemu – podsystem obwodu wzbudzenia Prawo zachowania – równanie spójności – II prawo Kirchhoff’a dla oczka obwodu wzbudzenia : czas : napięcie podawane na uzwojenie wzbudzenia : napięcie na rezystancji uzwojenia wzbudzenia : napięcie na indukcyjności uzwojenia wzbudzenia W maszynach elektrycznych wirujących napięcie na indukcyjności obwodu wzbudzenia to siły elektromotoryczne indukowane w tym uzwojeniu : siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wzbudzenia

Zależności wiążące a) napięcie na rezystancji uzwojenia wzbudzenia : rezystancja uzwojenia wzbudzenia : prąd płynący przez uzwojenie wzbudzenia b) siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu wzbudzenia : siła elektromotoryczna indukowana transformacji uzwojenia wzbudzenia : siła elektromotoryczna indukowana rotacji uzwojenia wzbudzenia

Dla uzwojenia wzbudzenia Założenie: z uzwojeniem wzbudzenia sprzężone są jedynie linie strumienia magnetycznego wytwarzanego przez to uzwojenie : strumień magnetyczny sprzężony z uzwojeniem wzbudzenia : liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia : strumień magnetyczny zastępczy uzwojenia wzbudzenia odpowiadający Skorzystamy z pojęcia indukcyjności własnej

Możemy napisać Stąd Otrzymane równanie ruchu podsystemu obwodu wzbudzenia

Równania ruchu systemu – podsystem obwodu twornika Prawo zachowania – równanie spójności – II prawo Kirchhoff’a dla oczka obwodu twornika : czas : napięcie podawane na uzwojenie twornika : napięcie na rezystancji uzwojenia twornika : napięcie na indukcyjności uzwojenia twornika W maszynach elektrycznych wirujących napięcie na indukcyjności obwodu twornika to siły elektromotoryczne indukowane w tym uzwojeniu : siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika

Zależności wiążące a) napięcie na rezystancji uzwojenia twornika : rezystancja uzwojenia twornika : prąd płynący przez uzwojenie twornika b) siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu twornika : siła elektromotoryczna indukowana transformacji uzwojenia twornika : siła elektromotoryczna indukowana rotacji uzwojenia twornika

Dla uzwojenia twornika Siła elektromotoryczne indukowana rotacji dla uzwojenia twornika wynika z jego ruchu względem strumienia magnetycznego uzwojenia wzbudzenia Określany jest w teorii maszyn elektrycznych wzorem : współczynnik stały dla określonego silnika, zależny od jego danych konstrukcyjnych : strumień magnetyczny (strumień indukcji magnetycznej|) obwodu wzbudzenia : prędkość kątowa wirnika silnika Musimy wyrugować

Skorzystamy wówczas Założenie: z uzwojeniem twornika sprzężone są jedynie linie strumienia magnetycznego wytwarzanego przez to uzwojenie : strumień magnetyczny sprzężony z uzwojeniem twornika : liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia : strumień magnetyczny zastępczy uzwojenia twornika odpowiadający Skorzystamy z pojęcia indukcyjności własnej

Możemy napisać Stąd Otrzymane równanie ruchu podsystemu obwodu twornika

Zestawimy równania modelu

lub Kategorie otrzymanego modelu  parametryczny  dynamiczny  ciągły  nieliniowy  o parametrach skupionych  niestacjonarny  deterministyczny

I próba uproszczenia modelu Ograniczenie zakresu zmienności prądu wzbudzenia i twornika Założenia:  w pewnym obszarze zmian prądu wzbudzenia i twornika związane z nimi charakterystyki magnesowania są liniowe  silnik ma pracować w obszarze liniowych części charakterystyk magnesowania zarówno dla obwodu twornika jak wzbudzenia

Przy podanych założeniach oraz

Ponadto W tych wyrażeniach przy stosowaniu jednostek SI i prędkości kątowej stałe cM oraz cE są sobie równe a zatem G ma wymiar indukcyjności [H] i jest nazywana indukcyjnością rotacji

Zestawienie równań modelu po pierwszym uproszczeniu Kategorie otrzymanego modelu  parametryczny  dynamiczny  ciągły  nieliniowy  o parametrach skupionych  stacjonarny  deterministyczny

Forma modelu Jeżeli traktować otrzymany układ równań modelowych jako model relacji wejście wyjście to SPS jest systemem o trzech wejściach i trzech wyjściach

Ale naturalnym jest traktować otrzymany układ równań modelowych jako równania stanu modelu stanu - SPS jest systemem o trzech zmiennych wejściowych i trzech zmiennych stanu Jeżeli wybierzemy jako wyjście prędkość kątową

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu