Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania

Prezentacja na temat: "Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania"— Zapis prezentacji:

1 Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania
Model lingwistyczny Model lingwistyczny został wprowadzony jako sposób ujęcia wiedzy jakościowej eksperckiej w formie reguł IF-THEN x – zmienna lingwistyczna przesłanki/wejścia Xi – wartość zmiennej lingwistycznej przesłanki/wejścia y – zmienna lingwistyczna konkluzji/wyjścia Yi – wartość zmiennej lingwistycznej konkluzji/wyjścia

2 Zwykle wymaga się żeby zbiór określeń/wartości zmiennej lingwistycznej posiadał pewne właściwości – wymienimy teraz jedną:  kompletność Kompletność. Kompletność oznacza, że każdy element przestrzeni rozważań jest przypisany do co najmniej jednego zbioru rozmytego z niezerowym stopniem przynależności Alternatywnie może być nakładane wymaganie nazywane -kompletnością

3 Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu gazu
Wejście – x, natężenie dopływu tlenu O2, skalar Wyjście – y, moc grzejna, skalar Wartości lingwistyczne wejścia – T(x) = {Low, OK, High} Wartości lingwistyczne wyjścia – T(y) = {Low, High}

4 Przykład – model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku

5

6 Agregacja relacji Grafik/wykres rozmyty

7 Model lingwistyczny - wnioskowanie
Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Wnioskowanie w systemie opartym o reguły rozmyte jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973)

8 Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i)

9 Operator I może być:  implikacją rozmytą w sensie klasycznym  implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) W modelu rozmytym Mamdani’ego stosowana jest implikacja rozmyta inżynierska Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)

10 Mechanizm wnioskowania oparty jest na uogólnionej regule modus ponens
Mając regułę if-then oraz fakt x is A’ zbiór wyjściowy B’ jest wyliczany w oparciu o złożeniową zasadę wnioskowania

11 Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania
 Jeżeli A’ jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A’ i R oznaczone jako A’  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B’(x,y) określoną wzorem: gdzie: A’  jest rozszerzeniem cylindrycznym A’ na przestrzeń X x Y

12 Wnioskowanie klasyczned - reguła Modus Ponens
Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B gdzie: A, B - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest dojrzały

13 Podstawą wnioskowania w rozmytej logice jest tautologia Uogólniony Modus Ponens:
Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A’ Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B’ gdzie: A’, B’ oznacza „bliski A”, „bliski B” odpowiednio A, A’, B, B’, - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały Skróty: Uogólniony Modus Ponens - UMP Generalised Modus Ponens - GMP

14 Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego
 Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY)  [0,1] obliczana Operator I może być typu (i) klasycznego - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) inżynierskiego – operacja przecięcia realizowana t-normą

15  Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A  B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:

16 Możliwe realizacje:  Podejście formalne oparte o relacje rozmyte  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego Ograniczymy się w tym przedmiocie do podejścia uproszczonego – wnioskowania Mamdaniego

17 Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London

18 Wnioskowanie Mamdani’ego
1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez fakt: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia (wniosku) dla każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia:

19 Wnioskowanie Mamdani’ego – ilustracja

20 Dyskretyzacja przestrzeni rozważań
Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Konkluzji Wartość lingwistyczna Element dziedziny 1 2 3 Low 1.0 0.6 0.0 OK 0.4 High 0.1 Wartość lingwistyczna Element dziedziny 25 50 75 100 Low 1.0 0.6 0.0 High 0.3 0.9

21 Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

22 Procedura wnioskowania Mamdani’ego
1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopnie spełnienia przesłanek

23 2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia (wniosków) dla poszczególnych reguł:
Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł

24 3. Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia:
Max Uzyskany wynik Approximately Low

25 Przykład – ponownie, model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku
Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł:

26 Niech zbiór rozmyty wejścia - singleton
R1: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R2: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R3: stopień spełnienia przesłanki równy zeru

27 Agregacja zbioru rozmytego wyjścia
Jakiego poziomu cieczy można się spodziewać? Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji

28 Wyostrzanie - defuzyfikacja
Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM),  metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)  metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)

29 Wyostrzanie - defuzyfikacja

30 Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)
Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją

31 Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM)
Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum

32 Metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)
Metoda środka sum (SS) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność gdzie:

33 Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana jest we wnioskowaniu Mamdani’ego, czyli w podejściu uproszczonym Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejście formalnym

34 Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low