Sposoby badania chaosu na przykładzie układów mechanicznych Inż. Marcin Chrząszcz

Cechy charakterystyczne chaosu Wrażliwość na warunki początkowe Efekt motyla Istnieje co najmniej jedna gęsta orbita Zbiór orbit periodycznych jest gęsty.

Krótka historia chaosu W 1963 r. Edward Lorentz opracował model procesów atmosferycznych, opartych na równaniach Naviera-Stokesa.

Tak wygląda układ Lorentza

Układ Rösslera Rozwiązane metodą Dormand Prince 4(5) http://nz11-agh1.ifj.edu.pl/public_users/mchrzaszcz/Numerics/DormandPrince/

Wstęp matematyczny Rozważmy odwzorowanie dyskretne: (1) Punktem stałym odwzorowania (1) nazywamy: Rozwiązania stabilne i niestabilne:

Podstawowy układ biologiczny Dynamika populacji: Dla rozwiązanie stabilne Weźmy i poszukajmy punktów stałych: Bo stabilny!

Mamy bifurkacje Rozważamy przedział Pojawiają się bifurkację: => Równanie czwartego stopnie ma rozwiązania:

Sprawdzamy stabilność Warunek na stabilność w i tym punkcie stałym: Po podstawieniu: Po rozwiązaniu: Zakładając teraz czterocykl można otrzymać kolejną wartość k=3,544

To co z tym chaosem??? Czy idąc dalej z tymi założeniami jesteśmy w stanie dojść do k=4? Okazuje się że nie, (dowód przez teologię, Bóg raczy wiedzieć dlaczego  ) Co się dzieje na przedziale (3,5699, 4] ? MAMY CHAOS !

Jak wygląda chaos? http://www.aeonbox.com/video/HKbw29BxNek/Cobweb-Diagram-for-the-Logistic-Map.html

Inne przykłady z mechaniki Bilard SINAI Tylko jedna całka ruchu (Energia).

Chaos w kosmosie Ruch planet w galaktyce możemy modelować jako ruch pojedynczej planety w stałym potencjale. Taki właśnie model w 1962r wprowadził Michel Hénon i jego student Carl Heiles. Model ten zakładał potencjał w postaci: Żeby układ był całkowalny (nie było chaosu) układ musi mieć n całek ruchu, gdzie n jest liczbą stopni swobody.

Potencjał Hénona-Hilesa

Co musimy wiedzieć z mechaniki Do pełnego opisu układu potrzebujemy znać położenia wszystkich cząstek oraz pędy. Punkty poruszają się więc w przestrzeni 2n wymiarowej przestrzeni fazowej. PRZYKŁAD

Jak badać chaos? Metoda Przekrojów Poincarego

Uogólnione potencjały Hénona-Hilesa

Podsumowanie Z chaosem mamy styczność codziennie Nauczyliśmy się go nie dostrzegać. Chaos jest młodą dziedziną nauki, potrzebne są gruntowne badania.

Dziękuję za uwagę