III. Proste zagadnienia kwantowe

Prezentacja na temat: "III. Proste zagadnienia kwantowe"— Zapis prezentacji:

1 III. Proste zagadnienia kwantowe
Mechanika Kwantowa III. Proste zagadnienia kwantowe WYKŁAD 9 Oscylator harmoniczny

2 Plan wykładu hamiltonian oscylatora harmonicznego,
rozwiązanie przy pomocy wielomianów Hermite’a, rozwiązanie przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji, hamiltonian w bazie energii.

3 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Rozważmy potencjał (energię potencjalną) 1-wymiarowego oscylatora harmonicznego Wiele potencjałów posiadających minimum w pobliżu punktu x0 można przybliżyć wokół tego punktu potencjałem typu oscylatora harmonicznego.

4 Rozwinięcie potencjału
Szereg Taylora:

5 Klasyczny oscylator harmoniczny
- rozwiązanie ogólne; gdzie ; - wahadło matematyczne:

6 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Hamiltonian dla oscylatora ma postać: gdzie . Odpowiednie równanie Schrödingera ma postać:

7 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Dokonując zamiany zmiennych (na bezwymiarowe) otrzymamy ostatecznie: Wielkość jest „naturalną” jednostką długości dla omawianego zagadnienia. Sformułowanie nabiera teraz znaczenia.

8 Hamiltonian oscylatora harmonicznego
Zachowanie asymptotyczne ( ): Rozwiązanie ścisłe: gdzie funkcja f spełnia równanie:

9 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Wielomiany Hermite’a spełniają równanie: Podstawowe własności:

10 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Wielomiany Hermite’a :

11 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Powtórzenie: równanie oscylatora: równanie Hermite’a: czyli:

12 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Tak więc funkcje falowe i energie mają postać: gdzie:

13 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Przykładowe gęstości prawdopodobieństwa

14 Rozwiązanie za pomocą wielomianów Hermite’a
Można wykazać, że:

15 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji*
Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego zapiszemy używając operatorów anihilacji i kreacji * Materiał uzupełniający (dodatkowy)

16 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Podstawowe własności operatorów kreacji i anihilacji:

17 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Operatory położenia i pędu mają postać:

18 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Hamiltonian przyjmie postać: Funkcje falowe otrzymujemy ze stanów: gdzie stan próżni obliczamy z warunku: otrzymując wynik identyczny jak poprzednio (przy zastosowaniu metody wielomianów Hermite’a).

19 Rozw. za pomocą operatorów kreacji i anihilacji
Elementy macierzowe:

20 Hamiltonian w bazie energii*
Elementy macierzowe operatorów w bazie energii: * Materiał uzupełniający (dodatkowy)

21 Hamiltonian w bazie energii

22 Hamiltonian w bazie energii