Teoria chaosu a filozofia

Prezentacja na temat: "Teoria chaosu a filozofia"— Zapis prezentacji:

1 Teoria chaosu a filozofia

2 „[…] Tam, gdzie zaczyna się chaos, kończy się klasyczna nauka” (Gleick, Chaos, s. 11)
„Teoria chaosu nie tylko wywarła ogromny wpływ na nauki szczegółowe, lecz także w zasadniczy sposób zmieniła nasze filozoficzne poglądy dotyczące możliwości poznawczych nauki, stosowanych w niej metod i wypływającego z niej obrazu świata” (Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, s. 7) Problem uporządkowania i poznawalności świata Trzecia wielka rewolucja naukowa w XX w. ? Teoria chaosu nie dotyczy jednej dyscypliny, lecz ma charakter uniwersalny Nowe narzędzia matematyczne do badania zjawisk nieregularnych

3 Liniowa mechanika klasyczna – deterministyczny (różniczkowy) opis dynamiki układu umożliwia przewidywanie zjawisk (por. demon Laplace’a) Układy nieliniowe – ich zachowanie może być nieprzewidywalne pomimo deterministycznego charakteru równań opisujących dynamikę układu

4 Problem trzech ciał Zagadnienie stabilności Układu Słonecznego)
Zredukowany problem Hilla – ruch ciała o znikomo małej masie m w polu grawitacyjnym dwóch ciał Henri Poincare, Problem trzech ciał i równania dynamiki (1890) Plątanina homokliniczna Skomplikowana dynamika w prostym układzie – pierwsze odkrycie chaosu

5 dx/dt = 10(y – x), dy/dt = – xz + 28x – y, dz/dt = xy – 8/3z
Efekt motyla Eduard Lorenz (meteorolog pracujący w Massachussets Institute of Technology) – prognozowanie pogody przy użyciu komputera (Royal McBee LGP-300) Układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujących zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze: dx/dt = 10(y – x), dy/dt = – xz + 28x – y, dz/dt = xy – 8/3z 1961 – odkrycie wrażliwości układów nieliniowych na warunki początkowe: małe różnice w danych początkowych szybko prowadzą do bardzo dużych różnic w trajektoriach układów Deterministic Nonperiodic Flow, "Journal of the Atmospheric Sesies", 20 (1963), s – początek nowej nauki o chaosie Oryginalną pracę Lorenza można znaleźć po adresem:

6

7 Układy nieliniowe (równania różniczkowe opisujące dynamikę układów mają charakter nieliniowy) wykazują silną wrażliwość na warunki początkowe – bardzo drobne różnice trajektorii początkowych w krótkim czasie prowadzą do bardzo dużych różnic trajektorii końcowych – następuje wykładnicze rozbieganie się trajektorii. Zachowanie takiego układu szybko staje się nieprzewidywalne pomimo deterministycznego (różniczkowego) opisu dynamiki układu (np. zjawiska pogodowe).

8 Dziwny atraktor Lorenza
Przestrzeń fazowa (p, q) W klasycznej dynamice liniowej atraktorem może być cykl graniczny lub punkt (stan śmieci cieplnej) W dziwnym atraktorze trajektorie „przyciągane” są do niewielkiego obszaru przestrzeni fazowej niezależnie od warunków początkowych (trajektorie nie przecinają się) Dziwny atraktor ma strukturę fraktalną W dłuższych okresach z chaosu rodzi się porządek Pojawienie się atraktora jest nieprzewidywalne

9 Odwzorowanie logistyczne
xn+1 = k xn (1 - xn) 0 < k < 4, odwzorowanie przekształca odcinek [0, 1] w siebie 1845 r. P.I. Verhulst - symulacja wzrostu populacji w ograniczonym środowisku. W postaci dyskretnej: liczba osobników xn+1 w kolejnym roku n+1 jest proporcjonalna do ich liczby w roku poprzednim xn, człon (1-xn) - reprezentuje ograniczający wpływ środowiska np. cykl drapieżca-ofiara, konta bankowe z samoograniczającym się oprocentowaniem itp.). Odwzorowanie logistyczne zależy od r i przy dużych wartościach r (ale r<4) staje się chaotyczne. "Scenariusz Feigenbauma dochodzenia do chaosu" jest uniwersalny dla wszystkich odwzorowań nieliniowych mających pojedyncze maksimum na odcinku [0,1].

10

11

12

13 Odkryto bardzo bogatą strukturę w prostym układzie: chaos wygenerowany przez determinizm i jednoznaczność. Biolog Robert May stosował funkcję logistyczną dla symulacji rozrodczości - długookresowej dynamiki gatunków. Dla (współczynnika rozrodczości) k>3 dynamika staje się bardzo skomplikowana i nie ustala się prosty stan równowagi - mogą pojawiać się cykle dwu-, cztero- ośmioletnie, szczególnie, jeżeli gatunek wpływa na ilość dostępnego mu pożywienia (np. drapieżniki): pojawia się sprzężenie zwrotne. Diagram bifurkacyjny cechuje samopodobieństwo: dowolny jego fragment wygląda jak cały diagram, ma zatem charakter fraktalny.

14 Prosty świat nauki klasycznej
„Filozofia zapisana jest w tej ogromnej księdze, którą stale mamy otwartą przed naszymi oczami; myślę o wszechświecie; lecz nie można jej zrozumieć, jeśli się wpierw rozumieć języka i pojmować znaki, jakimi została zapisana. Zapisana została zaś w języku matematyki, a jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne, bez których niepodobna pojąć z niej ludzkim umysłem ani słowa; bez nich jest to błądzenie po mrocznym labiryncie” (Galileo Galilei, Il saggiatore)

15 Fraktale „Ani chmury nie są kulami, linia brzegowa - kołem, kora nie jest płaska, ani też światło nie porusza się po liniach prostych„ (Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982)

16 Teoria fraktali – nowe narzędzie matematyczne umożliwia matematyczny opis zjawisk nieregularnych i chaotycznych Rachunek różniczkowy i całkowy nadaje się jedynie do krzywych gładkich, ale są one wyjątkiem bardzo rzadko spotykanym w przyrodzie Dla fraktali nie istnieje kres komplikacji i złożoności Samopodobieństwo - dowolny fragment fraktala wygląda jak cału fraktal - symetria względem skali Mandelbrot: fraktal = przepis na jego konstrukcję F={1/n, b} n - współczynnik zmiejszania, b - ile zmiejszonych części bierzemy do dalszej konstrukcji

17

18

19

20

21

22

23

24 Konsekwencje filozoficzne
Teoria chaosu jako nowy paradygmat nauki, uzupełniający podejście redukcjonistyczne Zagadnienie stosunku obiektów prostych do złożonych Redukcjonizm: istnienie i własności obiektów złożonych wynikają z istnienia i własności ich części; sukcesy takiego podejścia - teoria atomowej budowy materii Redukcjonizm jest uprawnioną metodą w badaniu układów liniowych, w odniesieniu do układów nieliniowych ma ograniczone zastosowanie, ponieważ: 1. Części w izolacji mogą działać inaczej niż w całości 2. Nieliniowe powiązania prowadzą do nowego sposobu działania całości (nadrzędność całości nad częścią

25 Redukcjonizm - antyredukcjonizm
„[…] najbardziej spektakularnym osiągnięciem redukcjonizmu była teoria atomowej budowy materii, która uporządkowała fizykę i chemię, stając się niekwestionowaną bazą nowoczesnego przyrodoznawstwa. Najpierw zredukowano do atomów wszystkie związki chemiczne, potem wyjaśniono ich własności i strukturę, a następnie […] własności coraz bardziej skomplikowanych obiektów i zjawisk: kryształów, cieczy, struktur komórkowych, procesów fizjologicznych. Jednocześnie fizyka atomów i cząstek schodziła coraz głębiej w strukturę materii, odkrywając jądra atomowe, cząstki elementarne i kwarki. Cała materia układała się w jednolity schemat redukcjonistycznej hierarchii bytów” (M. Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, s. 199)

26 „Nie ma już mowy o redukcji wszystkich rodzajów obiektów, procesów i własności materii do pewnej podstawowej wiedzy o jej najmniejszych fundamentalnych składnikach, ich własnościach i oddziaływaniach. […] Wszechświat jawi się jako całość rozwijająca się zgodnie z autonomicznymi prawami, a w wielu przypadkach ważniejsza od nich” (M. Tempczyk, Teoria chaosu a filozofia, s. 251). Układy złożona mają nowe nieredukowalne własności, wynikające z całościowego działania Samoorganizacja materii Według wielu biologów życie nie jest niesłychanie mało prawdopodobnym przypadkiem, lecz pojawia się wszędzie tam, gdzie istnieją sprzyjające warunki [?]