Najważniejsze twierdzenia i zastosowania w geometrii Geometria - podobnie jak arytmetyka należy do najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi.
Geometria euklidesowa Klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii.
Twierdzenie Ponceleta-Steinera Mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.
Twierdzenie Mohra-Mascheroniego Mówi, że jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Wynik ten został opublikowany w roku 1672 przez Georga Mohra, był jednak nieznany aż do roku 1928. Niezależnie od Mohra twierdzenie zostało odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.
Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.
Twierdzenie Pitagorasa W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość
Twierdzenie Steinera-Lehmusa Twierdzenie Lehmusa-Steinera jest twierdzeniem planimetrii sformułowanym przez C. L. Lehmusa i udowodnionym przez Jakoba Steinera. Jeżeli w trójkącie długości dwóch dwusiecznych są równe, to trójkąt jest równoramienny.
Twierdzenie Sin ,Cos ,Tg ,Ctg
Twierdzenie Erdősa X+Y+Z≥2(a+b+c) Dowód Mordella nie był elementarny - pierwszy elementarny dowód podano dopiero w roku 1956. Od tego czasu pojawiło się kilka elementarnych dowodów, a sama nierówność została uogólniona.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. |AD| \ |DB| = |AC| \ |BC|
Twierdzenie tangensów
Twierdzenie Stewarta
Dziękuje za uwagę Piotr Peplau Id