TRÓJKĄTY Karolina Szczypta

Spis treści Istnienie trójkątów Pole trójkąta Obwód trójkąta Przystawanie trójkątów Podobieństwo trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Wysokość trójkąta prostokątnego Trójkąty o katach 90° , 45°, 45° Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° Trójkąt wpisany w okrąg Trójkąt opisany na okręgu Ciekawostki o trójkątach Pojęcie ogólne Nazwy boków trójkąta Suma miar kątów Długość boków trójkąta Podział trójkątów ze względu na kąty Podział trójkątów ze względu na dł. boków Wysokości trójkątów Środkowa trójkąta Ortocentrum

– wielokąt o trzech bokach (oraz 3 kątach) TRÓJKĄT – wielokąt o trzech bokach (oraz 3 kątach) Spis treści

Jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami. Spis treści

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°. 180o

Można to odczytać z rysunku a ll b a b + = 180o Spis treści

a < b+c b < a+c c < a+b Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. b c a a < b+c b < a+c c < a+b Spis treści

ze względu na kąty: ostrokątny rozwartokątny prostokątny Podział trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny rozwartokątny prostokątny

Trójkąt jest ostrokątny, jeżeli wszystkie jego kąty są ostre tzn Trójkąt jest ostrokątny, jeżeli wszystkie jego kąty są ostre tzn., że mają więcej niż 0º a mniej niż 90º.

Trójkąt jest rozwartokątny, jeżeli jeden z jego kątów jest rozwarty tzn., że miara tego kąta jest większa od 90° i mniejsza od 180°.

Trójkąt jest prostokątny, jeżeli ma jeden kąt prosty tzn Trójkąt jest prostokątny, jeżeli ma jeden kąt prosty tzn. taki, którego miara wynosi 90º. przyprostokątna przeciwprostokątna c a b Spis treści

ze względu na długość boków: różnoboczny równoboczny równoramienny Podział trójkątów ze względu na długość boków: różnoboczny równoboczny równoramienny

Trójkąt jest różnoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają różne długości;

Trójkąt jest równoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają taką samą długość. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe i mają po 60º. α a

Trójkąt jest równoramienny, jeżeli dwa jego boki mają równe długości Trójkąt jest równoramienny, jeżeli dwa jego boki mają równe długości. Boki te nazywamy wówczas ramionami trójkąta. 180° - 2 α a α b Spis treści

Każdy trójkąt ma trzy wysokości. ostrokątny rozwartokątny prostokątny Spis treści

Proste, w których zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. h1 h2 h3 Spis treści

Środkowa trójkąta  to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. a = ½ |AB| Spis treści

Tabela określająca istnienie poszczególnych rodzajów trójkątów:   rodzaj trójkąta ostrokątny prostokątny rozwartokątny różnoboczny + równoramienny równoboczny - Spis treści

Pole trójkąta P = ½ * BC * h2 P = ½ * AB * h1 P = ½ * AC * h3 C A B h1 Spis treści

Obwód trójkąta Obw = a + b +c a b c Spis treści

Przystawanie trójkątów - Cecha BBB (bok, bok, bok) - Cecha BKB (bok, kąt, bok) - Cecha KBK (kąt, bok, kąt)

Cecha BBB ( bok, bok, bok) Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. a = a1 b = b1 c = c1 a a1 c1 c b b1

Cecha BKB (bok, kąt, bok) Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające. a1 α = α1 b = b1 c = c1 α1 a α b2 b

Cecha KBK (kąt, bok, kąt) Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty jednego trójkąta leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. α c α = α1 c = c1 β = β1 α1 c1 β β1 Spis treści

Podobieństwo trójkątów - Cecha BBB (bok, bok, bok) - Cecha BKB ( bok, kąt, bok) - Cecha KKK (kąt, kąt, kąt)

Cecha BBB (bok, bok, bok) Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne. a’ c a c’ b b’

Cecha BKB Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. b’ b α’ α a’ a

Cecha KKK Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta mają taką samą miarę jak dwa kąty drugiego trójkąta to  te trójkąty są podobne. Spis treści

c2 = a2 + b2 Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równy jest sumie kwadratów długości przyprostokątnych a2 b2 c2 c2 = a2 + b2 Spis treści

W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.  x h y Spis treści

Trójkąty o kątach 90° , 45°, 45° 45 ° a 45 ° a

d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a Spis treści

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° 30° 2a a√3 60 ° a

Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a Spis treści

Trójkąt wpisany w okrąg Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży: w trójkącie prostokątnym, w połowie przeciwprostokątnej, w trójkącie ostrokątnym, wewnątrz trójkąta, w trójkącie rozwartokątnym, poza trójkątem. . . .

Promień okręgu opisanego na trójkącie Spis treści

Trójkąt opisany na okręgu W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt Spis treści

Ciekawostki o trójkątach

Trójkąt pitagorejski - to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi. Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki.  Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem:        (a+b)3= a 3  + 3a2b + 3ab2 + b3

Trójkąt Pascala

Wzór, który pozwoli nam znaleźć 3 całkowite liczby, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. n - dowolna liczba całkowita a = 2n + 1, b = 2n (n+1), c = 2n²+ 2n +1 Spis treści

Źródła, które użyłam: Szczepan Jeleński, „Śladami Pitagorasa’’ wikipedia.pl www.math.edu.pl www.matematykam.pl matematyka.opracowania.pl http://matma.eu http://www.matmana6.pl Matematyka z plusem. Podręcznik dla klas 1, 2 gimnazjum. Oraz rady p. B. Łuczywo i p. E. Nowakowskiej (za co bardzo dziękuję ) Spis treści

Dziękuję za uwagę ! Spis treści