Wykład no 3 sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006

Właściwości transformaty Fouriera Transformata Fouriera Odwrotna transformata Fouriera Stosujemy oznaczenie symboliczne:

1. Liniowość (superpozycja) Jeżeli , to Przykłady Kombinacja impulsów wykładniczych a>0

Rozkładamy na dwie funkcje

Zgodnie z zasadą superpozycji transformata sygnału Tansformata Fouriera funkcji u1(t) jest: a transformata funkcji u2(t) jest Zgodnie z zasadą superpozycji transformata sygnału u(t)=u1(t)+u2(t) jest Widmo amplitudowe sygnału u(t) przedstawia wykres:

Wykres amplitudy jest symetryczny względem osi rzędnych, a charaktrystyka fazowa jest niezależna od częstotliwości. Generalnie transformata rzeczywistej funkcji parzystej jest funkcją rzeczywistą parzystą.

Rozpatrzmy funkcję: gdzie a>0 Wprowadzając funkcję: u(t)

możemy zapisać: u(t)=exp(-a|t|)sign(t), a rozkładając na dwie funkcje:

i mamy: u(t)=u1(t)- u2(t), a z liniowości transformaty wynika: Transformata Fouriera nieparzystej funkcji rzeczywistej jest funkcją czysto urojoną. Jest to generalna własność transformaty.

|U()| Charakterystyka amplitudowa Charakterystyka fazowa

Zmiana skali czasu Niech wtedy: Podstawiając at=x mamy adt=dx czyli dt=dx/a i dla a>0 mamy:

dla a<0 mamy: łącząc obie równości mamy: Przykład

ostatecznie: u(t)

Widmo amplitudowe U() Rzeczywiste, faza wynosi 0

Zmiana skali czasu a=4 „ściśnięcie” a=0.5 „rozciągnięcie”

Widmo amplitudy U(,a=1) U(,a=4) U(,a=0.5) a=4 w czasie ściśnięcie ↔ w częstotliwości rozciągnięcie a=0.5 w czasie rozciągnięcie ↔ w częstotliwości ściśnięcie

Warto również wykorzystać własność zmiany kierunku skali: dla a=-1 mamy u(-t)=U(-f) Dualizm Jeśli , to Dowód wynika z przekształcenia odwrotnego: zmieniając rolami t i  mamy:

Przykład Wprowadzamy funkcję: Transformata funkcji: rect(t) A/(2T) -T T t i mamy:

Przesunięcie w czasie Jeżeli , to Dowód: ostatecznie:

Widmo amplitudowe funkcji u(t) jest |U()| Dla funkcji u(t-t0) ↔ e-jt0U() widmo amplitudowe będzie |U()| gdyż |e-jt0|=1. Natomiast widmo fazowe ulega przesunięciu o -t0. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0), 0 – liczba rzeczywista.

Paczka sinusoidalna o częstotliwości radiowej i obwiedni prostokątnej Podstawiając -0=x d=dx mamy: ostatecznie: czyli Własność tę nazywamy twierdzeniem o modulacji. Paczka sinusoidalna o częstotliwości radiowej i obwiedni prostokątnej

Przykład Impuls RF - radio frequency pulse E=1 u(t)

i korzystając z przesunięcia mamy:

-c c

Pole ograniczone przez oś odciętych i funkcję u(t) Jeżeli u(t)↔U(), to Pole ograniczone przez oś odciętych i funkcję U() bo i

Różniczkowanie w dziedzinie czasu Ponieważ: i ale i ostatecznie

ogólnie mamy: Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości: bo

Impuls Gaussa Niech i jeżeli u(t)↔U(), to na mocy: i mamy: czyli czyli u(t) i U() są identyczne, jeżeli wymienić t i . Rozwiązując równanie mamy:

a transformatę impulsu Gaussa: w dziedzinie częstotliwości otrzymujemy zastępując t przez , czyli

Całkowanie w dziedzinie czasu Jeżeli u(t)↔U() i U(0)=0, to u(t) Przykład: A AT T t t -T T -T -A

ale i ostatecznie

Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu Funkcje sprzężone Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu zachodzi u*(t)↔U*(-). Dowód wynika z równania: i a następnie podstawiamy: =- oraz d=-d i mamy:

Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu i wniosek: Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu zachodzi u*(-t)↔U*(). Przykład: Część rzeczywista i część urojona funkcji czasu. Niech u(t)=ur(t)+jui(t) funkcja sprzężona do funkcji u(t) jest u*(t)= ur(t)-jui(t) Dodając stronami mamy część rzeczywistą funkcji u(t) ur(t)=0.5[u(t)+u*(t)]

a część urojona odejmując stronami: ui(t)=0.5j[u*(t)-u(t)] Biorąc pod uwagę, że u*(t)↔U*(-) mamy transformaty części rzeczywistej: ur(t)↔0.5[U()+U*(-)] i dla części urojonej: ui(t)↔0.5j[U*(-)-U()] Jeżeli u(t) jest funkcją rzeczywistą, to ui(t)=0, czyli U()=U*(-) czyli transformata Fouriera funkcji u(t) jest dla ujemnych częstotliwości funkcją sprzężoną.

Mnożenie w dziedzinie czasu Dane są u1(t)↔U1() i u2(t)↔U2(). Obliczyć transformatę U12()↔u1(t)u2(t) ale podstawiając mamy:

Podstawiając: mamy: Zmieniając kolejność całkowania mamy: ale i ostatecznie:

co oznacza, że funkcję U12() możemy obliczyć znając transformaty U1() i U2(). nazywamy całką splotową Całkę: i symbolicznie zapisujemy U1()*U2(). Splot jest przemienny czyli Możemy zapisać symbolicznie transformatę iloczynu

Mnożenie w dziedzinie częstotliwości Wiemy, że u1(t)↔U1() i u2(t)↔U2(). Obliczyć transformatę odwrotną U1() U2() Mamy: ale czyli

Podstawiając: t-ξ=τ i dξ=-dτ mamy: a zmieniając kolejność całkowania i biorąc pod uwagę, że mamy: Jest to twierdzenie o splocie

Całkowita energia sygnału jest zdefiniowana jako Wielkość |u(t)|2 nazywamy gęstością energii Zakładając ogólnie że sygnał u(t) jest zespolony możemy zapisać: |u(t)|2=u(t)u*(t) Zakładając, że istnieje transformata czyli u(t)↔U() i korzystając z faktu, że u*(t)↔U*(-) na mocy twierdzenia o transformacie iloczynu funkcji w dziedzinie czasu mamy:

co stanowi treść tzw. energetycznego twierdzenia Rayleigha Chcemy obliczyć skorzystamy z faktu, że czyli co stanowi treść tzw. energetycznego twierdzenia Rayleigha Wielkość E=|U()|2 – nazywamy widmową gęstością energii.

Odwrotna proporcjonalność czasu i częstotliwości. Zachodzi zmiana skali: Jeżeli zmienimy skalę opisu czasowego, to opis w dziedzinie częstotliwości zmienia się odwrotnie

u(t) u(4t) u(0.5t)

Widmo amplitudy U(,a=1) U(,a=4) U(,a=0.5) a=4 w czasie ściśnięcie ↔ w częstotliwości rozciągnięcie a=0.5 w czasie rozciągnięcie ↔ w częstotliwości ściśnięcie

2. Jeżeli sygnał jest ściśle ograniczony u(t)

to jego widmo jest nieograniczone Widmo amplitudowe U() chociaż może być malejące.

i odwrotnie jeżeli widmo jest ograniczone, to czas trwania sygnału jest nieograniczony chociaż może maleć do zera. Generalnie Sygnał nie może być równocześnie ograniczony i w czasie i w częstotliwości Pasmo (bandwith) Pasmo stanowi miarę miarę ilościowego przedstawienia zawartości istotnych składowych widma dla dodatnich częstotliwości.

Niestety jest to definicja nieprecyzyjna i istnieją różne definicje bardziej precyzyjne Mówimy, że sygnał jest dolnopasmowy (low-pass), jeżeli znacząca część zawartości widmowej jest rozłożona w otoczeniu zera na osi częstotliwości. Sygnał nazywamy pasmowoprzepustowym (band-pass) jeżeli zawartość widma przypada w otoczeniu fc≠0. Jeżeli widmo sygnału jest symetryczne z listkiem głównym, to można wykorzystać listek główny do zdefiniowania szerokości pasma.

pasmo listkowe U(f) f

Pasmo trzydecybelowe 3-dB Widmo dolnopasmowe p

Widmo pasmowoprzepustowe  /2π – szerokość pasma 3-dB

„Funkcja” delta Diraca Oznaczenie: δ(t) Definicja: δ(t)=0 dla wszystkich t≠0 oraz Dla dowolnej funkcji u(t) mamy:

Transformata funkcji δ(t) czyli δ(t)↔1 U() u(t) 1 δ(t)  t

Na mocy dualizmu dla sygnału stałoprądowego mamy δ(t)↔1() czyli 1(t)↔2π δ(-) 1↔2πδ() Jeśli , to Z własności: Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0), 0 – liczba rzeczywista. wynika: exp(j0t)1(t)↔δ(-0) czyli exp(j0t) ↔δ(-0)

i możemy obliczyć transformatę funkcji cos cos(0t) -0 0 

jU() sin(0t) -0 0