Ekonometria mat. pomocnicze 3 W. Borucki

Modele ekonometryczne MNK Modele liniowe Modele nieliniowe Modele z wieloma zmiennymi Ocena dobroci dopasowania modelu Wykorzystanie modeli ekonometrycznych

Wprowadzenie 1 Zastosowanie modeli matematycznych do opisu zjawisk ekonomicznych. Przykładami są: Zależność popytu na alkohol od wielkości dochodów rozporządzalnych Rozwój (w czasie) konsumpcji cukru, słodyczy, … Wydajność pracy w zależności od technicznego uzbrojenia pracy i/lub bodźców płacowych, … Zjawiska ekonomiczne opisane są zbiorem wartości zmiennych zależnych (objaśnianych) i niezależnych (objaśniających) – wektorami (punktami), których współrzędne odpowiadają obserwowanym wartościom zmiennych Co obserwujemy ? Jak to mierzymy? Zmienne ekonomiczne, ich (standaryzowane) definicje i substytuty (symptomy?) Wzorce miar i błędy pomiaru Rola czasu („ nie wchodzi się dwa razy do tej samej rzeki”) Zmiany definicji i klasyfikacji (porównywalność w czasie).

Wprowadzenie 2 Model matematyczny, to początkowo hipoteza, a następnie teza o rodzaju zależności pomiędzy zmiennymi objaśnianymi i objaśniającymi (odpowiednia formuła matematyczna) Modele dzielimy na: Z jedną zmienną objaśniającą lub wieloma zmiennymi objaśniającymi, Liniowe lub nieliniowe, Jednorównaniowe lub wielorównaniowe, O równaniach niezależnych lub współzależnych Ze zmiennymi ilościowymi i/lub jakościowymi Spośród różnych hipotez (propozycji modeli) tezą staje się (wybierany jest) ten model, dla którego odpowiednio zdefiniowany wskaźnik jakości jest największy Jak ocenić jakość modelu - zdefiniować wskaźnik jakości modelu?

Przykład z arkusza 1 Rozwój w czasie zmiennej obserwowanej Co można powiedzieć o prawidłowości rozwoju? (w języku matematycznym)

Wprowadzenie 3 Która prosta lepiej opisuje rzeczywistość ? y = cx + d B C x y y = cx + d (xi ,yi) ??? y = ax + b Która prosta lepiej opisuje rzeczywistość ?

Metoda najmniejszych kwadratów 1

Metoda najmniejszych kwadratów 2 - układ równań

NMK 4

MNK 3 Współczynnik zbieżności i/a współczynnik korelacji

Trendy - funkcje czasu Liniowy (stała prędkość wzrostu) Potęgowy (stała elastyczność) Wykładniczy (stała stopa wzrostu) Logistyczny (poziom nasycenia i punkt przegięcia)

Wspomniane wskaźniki mikroekonomiczne Prędkość wzrostu Stopa wzrostu Elastyczność

Trendy 2 Zastosowanie: do prognozowania. Prognoza, to każde zdanie warunkowe (uzasadnione prawami rozwojowymi – przeniesionymi z przeszłości {?}) odnoszące się do przyszłości. Uwaga: Wróżba, to też zdanie odnoszące się do przyszłości! (ale bez naukowego uzasadnienia) Czy potrafimy określić wielkość błędu prognozy? Jakie czynniki mogą mieć wpływ na jego wielkość? Jak błąd prognozy zmienia się w zależności od horyzontu prognozy?

Modele nieliniowe - linearyzacja Dla modeli potęgowego i wykładniczego – obustronne logarytmowanie, a następnie operacje odwrotne Dla modeli wielomianowych (model kosztu całkowitego lub jednostkowego) bądź hiperbolicznych (modele Törnquista) – wprowadzenie zmiennych pomocniczych (odpowiednia potęga zmiennej objaśniającej, lub odpowiednie ilorazy wynikające z dobranych przekształceń) Inne modele (np. logistyczny) – indywidualnie

Modele nieliniowe – przykłady zastosowań Krzywe Engla (funkcje popytu) Modele wykładnicze (głównie trendy) Funkcje kosztów (x – rozmiar działalności) całkowitych jednostkowych

Modele Törnquista 1 Na dobra podstawowe Na dobra wyższego rzędu Na dobra luksusowe

1. Model Törnquista Własności Szacowanie

Własności modelu Törnquista (II rz.)

Linearyzacja modelu Törnquista III rz.

Modele nieliniowe – trend logistyczny i metoda Hotelinga

Modele z wieloma zmiennymi objaśniającymi Szacowanie parametrów, układ równań Podstawowe problemy dobór zmiennych do modelu - współliniowość zmiennych błędy ocen parametrów

Błędy średnie ocen parametrów

Ocena jakości modelu Ocena statystyczna Ocena merytoryczna Stabilność zjawiska Współczynnik determinacji Błędy ocen parametrów Ocena merytoryczna Podstawy teoretyczne Możliwości interpretacyjne Celem pracy ekonometryka jest Dobry wskaźnik jakości modelu i małe błędy ocen parametrów i racjonalna (naukowa) interpretacja wyników A Jego dylematy? Dużo zmiennych to dużo szumów informacyjnych, większe błędy ocen parametrów ale mniejsza suma kwadratów reszt Mało zmiennych to oczekiwana prostota ale zbyt duży redukcjonizm (uproszczenie rzeczywistości) i gorsze dopasowanie do wyników obserwacji

Dobry model ? Zgodny z obserwacjami Prosty Interpretowalny / dobrze wyjaśniający Które zmienne warto włączyć do opisu badanego zjawiska?

Wybór zmiennych objaśniających metodami statystycznymi Wyznaczyć macierz współczynników korelacji zmiennych objaśniających R={rij} oraz wektor R0 Utworzyć kombinacje zmiennych – (k – nr komb.) Dla każdej kombinacji wyznaczyć pojemność informacyjną hkj (j - ind. zm.) Wyznaczyć integralną pojemność informacyjną Hk dla kombinacji Wybrać kombinację o maksymalnym Hk

Funkcja produkcji Cobb-Douglasa Stałe elastyczności Substytucyjność kapitału i pracy Współliniowość zmiennych

Funkcja produkcji wg Leontief’a

Ekonometria – etapy budowy modelu ekonometrycznego Określenie celu badań (modelowania) – zdefiniowanie zmiennej objaśnianej i/lub zmiennych sterujących Postawienie hipotez roboczych (wynikających z merytorycznego rozpoznania problemu) – określenie zbioru zmiennych objaśniających i rodzaju zależności między nimi i zmienną (-ymi) objaśnianą (-ymi) Zebranie danych, ich wstępna analiza (uaktualnienie hipotez dotyczących rodzaju zależności) Estymacja parametrów modelu Ocena „poprawności” modelu (statystyczna – współczynnik zbieżności, błędy ocen parametrów i ich istotność, a także merytoryczna – zgodność z teorią, „zdrowym rozsądkiem”, interpretowalność, Wykorzystanie modelu: sformułowanie wniosków (prognoz, predykcji) i ich ocena

Przykład 1 W kraju Zab PKB/cap w roku Niedźwiedzia wynosił $ 6000,- , a w kraju Gier wynosił $ 9000,-. Wiadomo że w Zab dochód wzrasta ze stałą stopą wzrostu wynoszącą 10% , a w Gier ze stałą prędkością wzrostu wynoszącą $ 200,-. Opisz funkcje trendów dochodów narodowych Gier i Zab odpowiednimi modelami ekonometrycznymi i odpowiedz na pytanie kiedy ich PKB/cap się zrównają.

Przykład 2 Liczba użytkowników telefonów komórkowych może być opisana funkcją logistyczną. Posiada ona asymptotę odpowiadającą poziomowi 120 telefonów na 100 osób. Poziom 60 telefonów / 100osób osiągnięty został w ciągu 10 lat . Jak wielka będzie ich liczba za dwa lata jeżeli aktualnie mija 11 rok od uruchomienia sieci i aktualna liczba użytkowników wynosi 72/100?

Przykład 3 Popyt na warzywa opisany został funkcją Jak zinterpretujemy parametry tego modelu? Jakie możemy mieć zaufanie do predykcji dokonanych w oparciu o ten model?

Przykład 4 Popyt na mięso opisany został funkcją liniową, dla której współczynnik zbieżności i błędy ocen parametrów podane zostały obok. Jak interpretujemy otrzymane wyniki? Czy model uznać można za dobrze opisujący badane zjawisko?

Kilka pytań 1 Oszacowano model popytu na mięso: Co to jest metoda najmniejszych kwadratów? Podaj postać funkcji Törnquista II rodzaju i omów jej podstawowe własności. Jak można oszacować parametry trendu potęgowego? Stopa wzrostu dochodu narodowego na głowę mieszkańca Pyrlandii jest od 2000 roku stała i wynosi 7%. Jak wielki będzie ten dochód w roku 2010 jeżeli w 2000 wynosił 10 000 D/cap? Oszacowano model popytu na mięso: Zinterpretuj otrzymane wyniki

Kilka pytań 2 Co to jest współczynnik zbieżności i jak się go wyznacza? Podaj postać funkcji Törnquista III rodzaju i omów jej własności Jak można szacować paramatry trendu wykładniczego? Elastyczność dochodowa popytu na mięso wynosi 0,15, a (teoretyczne ) wydatki przy dochodzie 1 tys. wynoszą 200 zł. Pokaż funkcję popytu na mięso. Prędkość wzrostu funkcji wartości zapasów w przedsiębiorstwie X wynosi 0,15, a jeszcze pięć lat temu zapasów n ie było wcale. Jaką funkcją opisać można trend rośnięcia zapasów w przedsiębiorstwie X? Oszacowanie parametrów funkcji kosztów całkowitych przyniosło wyniki (poniżej) Zinterpretuj otrzymane wyniki