Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

dr Małgorzata Radziukiewicz

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "dr Małgorzata Radziukiewicz"— Zapis prezentacji:

1 dr Małgorzata Radziukiewicz
Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz

2 Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: gdzie a>0 jest ustaloną liczbą

3 Funkcja wykładnicza Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca X: Rys.1a. Funkcja wykładnicza parametr α0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmie wartość zero α1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α1 – 1) 100%. Y α1>1 α1=1 α0 0<α1<1 X

4 Funkcja wykładnicza ● Większe od jedności wartości parametru α1 oznaczają wzrost wartości zmiennej objaśnianej Y np. gdy α1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15% ● Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α1 świadczą o spadku wartości zmiennej objaśnianej Y np. dla α1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%, zatem spadek

5 Model wykładniczy ● Model wykładniczy: ● Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony do postaci liniowej; ● Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; ● Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy: gdzie: logarytm naturalny, którego podstawa e= …

6 Trend wykładniczy ●Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t): ● parametr α0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym badanie (t=0) ● α1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α1 – 1) 100%.

7 ▪ otrzymujemy wówczas:
Trend wykładniczy ▪ model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; ▪ otrzymujemy wówczas: ▪ przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, (nie została przekształcona zmienna t) a więc

8 ▪ dane niezbędne do obliczeń:
Trend wykładniczy ▪ dane niezbędne do obliczeń: X – macierz wartości zmiennej czasowej; - wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu

9 Trend wykładniczy ▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru:

10 Trend wykładniczy Mamy wówczas: Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6); Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej; Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie: czyli

11 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
Sposób obliczenia prognozy punktowej: stąd

12 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):

13 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
Przykład 3. Wartość produkcji (Yt w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 kształtowała się następująco: a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu; b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003, 2004 i 2005; c) ocenić dokładność dokonanej predykcji. lata Produkcja w mld zł 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 4,5 3,5 4,1 5,0 7,6 11,0 16,1 15,5 21,0 26,4

14 Postać modelu trendu wykładniczego
●na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci: gdzie: t - zmienna czasowa (t=1,2,…10) ▪ Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez logarytmowanie:

15 Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru: lub ze wzorów:

16 Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
Tablica 1. Obliczenia pomocnicze lata Nakład (Y) ln Y t lnY· t t2 1993 4,5 1,504077 1 1994 3,5 1,252763 2 2,505526 4 1995 4,1 1,410987 3 4,232961 9 1996 5 1,609438 6,437752 16 1997 7,6 2,028148 10,14074 25 1998 11,0 2,397895 6 14,38737 36 1999 16,1 2,778819 7 19,45173 49 2000 15,5 2,740840 8 21,92672 64 2001 21,0 3,044522 27,40070 81 2002 26,4 3,273364 10 32,73364 100 114,7 22,04085 55 140,7212 385

17 Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

18 Weryfikacja modelu trendu wykładniczego
Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej. Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco: Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe). Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie.

19 Postać modelu trendu wykładniczego
● otrzymamy wówczas: ▪ czyli funkcję wykładniczą postaci: Interpretacja: Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47 mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266; czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.

20 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
Sposób obliczenia prognozy punktowej: Stąd Produkcja w latach będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł .

21 Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej. Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:

22 Prognozy produkcji


Pobierz ppt "dr Małgorzata Radziukiewicz"

Podobne prezentacje


Reklamy Google