Metoda różnic skończonych I -zagadnienia stacjonarne, problemy liniowe Anna Ługiewicz Elżbieta Ligocka
Metoda różnic skończonych Jest to jedna z najstarszych metod numerycznego rozwiązywania zagadnień przez układy równań różniczkowych. Polega na zastąpieniu pochodnych występujących w tych równaniach przez odpowiednie ilorazy różnicowe. Trudności w zastosowaniu tej metody wiążą się z warunkami brzegowymi.
Warunki brzegowe Dirichleta u(x,y) = g(x,y) dla (x,y)єS Neumanna ∂u(x,y)/∂n = g(x,y)
Wzór Taylora Pochodne funkcji, które będą zastąpione różnicami można wyznaczyć za pomocą rozwinięcia szeregu Taylora:
Wyznaczenie pierwszej pochodnej centralnej
Wyznaczenie drugiej pochodnej centralnej
Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych: 3 podstawowe kroki: Podział regionu na siatkę węzłów Przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne równania różnicowe Rozwiązanie układu równań
Równanie i zagadnienia brzegowe
1: Dyskretyzacja przedziału <a,b> Podział przedziału <a,b> na n-1 podprzedziałów postaci <xi, xi+1> siatką węzłów xi i=1,2,…,n-1 gdzie x1=a i xn=b
2: Numeryczna aproksymacja funkcji u Aproksymacja rozwiązania funkcji u na węzłach siatki: ui=u(xi) i=1,2,…,n Nie szukamy już u(x), tylko wartości funkcji u w węzłach siatki: u1, u2, …, un
3: Aproksymacja pochodnych Aproksymacja pochodnych różnicami skończonymi:
4: Aproksymacja dyskretna równania (1) Równanie różniczkowe (1) ma być spełnione w węzłach:
5: Podstawienie warunków brzegowych u1=ua un=ub
Po podstawieniu przybliżonych wyrażeń na pochodne:
Zastosowanie kroków 1-5 daje układ równań:
Postać macierzowa A·u=b A-macierz współczynników u-wektor niewiadomych b-wektor prawych stron u=A-1·b
Postać macierzowa
Postać macierzowa
Dziękujemy za uwagę