Matematyczne techniki zarządzania - 211 Jak to wszystko zrealizować matematycznie? — patrz skrypt, s. 186-191 Kłopoty matematyczne biorą się z tego, że mamy więcej zmiennych (nie-wiadomych) niż równań warunki ograniczające ze zmiennymi swobodnymi dołączona funkcja celu z jej wartością x0 Jedynym sposobem rozwiązania tego układu jest rachunek iteracyjny, polegający na wielokrotnym zakładaniu, że zmienne występujące we wszystkich równaniach są równe zero, przez co otrzymamy niezerowe wartości pozostałych zmiennych. x3=14x4=26x0= 0 Mysz w tym momencie znajduje się na początku układu współrzęd-nych: Z(X) = x0 = 0 Przejście do następnego wierz-chołka to zmiana bazy, co wyma-ga podjęcia dwu decyzji: x1=0x2=0 BAZA 0 ZMIENNE BAZOWE ZMIENNE NIEBAZOWE którą zmienną wprowadzić do bazy, a którą z niej wycofać (dla myszy to decyzja — którą krawędzią się poruszać) jaką wartość przyjąć dla zmiennej wprowadzanej do bazy, aby maksyma-lnie poprawić Z(X), a równocześnie nie wyjść poza obszar rozwiązań do-puszczalnych (dla myszy to decyzja — jak iść aby nie minąć wierzchołka) Tablica simpleksowa Skrypt, s.188

 Matematyczne techniki zarządzania - 212 BAZA 0 BAZA 1 BAZA 2 BAZA 3 Zmiana bazy polega na wymianie tylko jednej zmiennej, czyli na zmianie na wierzchołku kierunku marszu ku rozwiązaniu optymalnemu. Po wyznaczeniu tych decyzji, układ równań przekształca się (przez ich mnożenie i doda-wanie) tak, aby zmien-ne bazowe występowa-ły tylko w jednym rów-naniu. BAZA 0 BAZA 1 BAZA 2 BAZA 3 Rachunek iteracyjny kończy się w momencie, gdy z dołączonej funkcji celu wynika, że nie ma już moż-liwości poprawy wartości funkcji celu. Baza zdegenerowana: baza, w której pojawiło się przypadkowe zero ZAGADNIENIE DUALNE SYMETRYCZNE Zagadnienie pierwotne Zagadnienie dualne nowa zmienna dualna yi odwrócenie kierunku optymali-zacji zamiana cj oraz bi miejscami transponowanie macierzy A zmiana kierunku nierówności  Zagadnienie dualne (zagadnienia dualnego) = zagadnienie pierwotne Rozwiązując jedno z nich rozwiązujemy równocześnie drugie, czasem wygodniej jest rozwiązywać dualne zamiast pierwotnego

  Matematyczne techniki zarządzania - 213 Ekonomiczna interpretacja zmiennych dualnych yi Są to ceny dualne środków produkcji określające jaki dodatkowy zysk mo-że przynieść firmie dodatkowa jednostka i-tego środka. W każdym warunku ograniczającym występuje nierówność , co oznacza, że dany środek (surowiec, robocizna, czas pracy maszyn) może być przy rozwiązaniu optymalnym albo wykorzystany całkowicie (=), albo tylko częściowo (<). Stopień wykorzystania i-tego środka produkcji poznajemy po wartości zmiennej swobodnej (plansza 207). 1. Środek produkcji wyczerpany w rozwiązaniu optymalnym Zmienna dualna związana z tym środkiem ma wartość , gdyż sprowadzenie nowej jednostki tego środka pozwoli zwiększyć produkcję, co da dodatkowy zysk równy yi =0 2. Środek produkcji niewyczerpany w rozwiązaniu optymalnym Zmienna dualna związana z tym środkiem ma wartość 0, gdyż tego środka jest już te-raz w nadmiarze i sprowadzenie nowej je-go jednostki nic w firmie nie zmieni — ani wielkości produkcji, ani zysku =8  A jaka będzie interpretacja zmiennej dualnej dla mieszanki?

 Matematyczne techniki zarządzania - 214 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI W PROGRAMOWANIU LINIOWYM Bada się reakcję X (rozwiązania optymalnego) na zmianę A, B, C (założeń) Co będzie, jeśli... PROGRAMOWANIE PARAMETRYCZNE 1. Skutki zmiany funkcji celu (macierzy C) Funkcja celu  xj nie ma w ostatniej bazie w rozwiązaniu optymalnym, czyli xj = 0 WYRÓB j-TY NIE JEST PRODUKOWANY W ROZWIĄZANIU OPTYMALNYM — DLACZEGO? PONIEWAŻ JEGO RENTOWNOŚĆ JEST ZA NISKA W PORÓWNANIU Z INNYMI Wnioski: — obniżenie zysku jednostkowego cj nie zmieni rozwiązania optymalnego, gdyż j-ty wyrób w dalszym ciągu będzie nierentowny — zwiększenie zysku jednostkowego może zmienić rozwiązanie optymalne, gdyż j-ty wyrób może (jeśli przekroczymy pewną wartość cj) stać się bar- dziej opłacalny niż inne wyroby Pytanie: o ile najwięcej (pj) może wzrosnąć cj, aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie? Przykład odpowiedzi: p2<0,4286 Interpretacja: dopóki c2<5,4286, wyrób 2 nie powinien wchodzić do produkcji

 Matematyczne techniki zarządzania - 215 zmienna xj znajduje się w ostatniej bazie, czyli xj>0 WYRÓB j-TY JEST PRODUKOWANY W ROZWIĄZANIU OPTYMALNYM — DLACZEGO? PONIEWAŻ JEGO RENTOWNOŚĆ JEST WYŻSZA W PORÓWNANIU Z INNYMI Wnioski: — obniżenie zysku jednostkowego cj może zmienić rozwiązanie optymalne, gdyż j-ty wyrób może stać się nierentowny (po zejściu poniżej pewnej granicy) — zwiększenie zysku jednostkowego może zmienić rozwiązanie optymalne, gdyż j-ty wyrób może (jeśli przekroczymy pewną wartość cj) stać się jeszcze bardziej opłacalny niż dotychczas Pytanie: o ile (pj) może zmaleć lub wzrosnąć cj, aby rozwiązanie optymalne nie uległo zmianie? Przykład odpowiedzi: —0,6<p1<2,2 Interpretacja: dopóki 2,4<c1<5,2, wyrób 1 powinien być produkowany w ilości x1 wyznaczonej przez rozwiązanie optymalne 2. Skutki zmiany wektora ograniczeń (macierzy B) Każda zmiana (w pewnych granicach) ilości środków produkcji zmienia wartość funkcji celu Analizę wrażliwości na B przeprowadza się z uwzględnieniem: — zmiany struktury asortymentowej wyrobów (które wyroby się produkuje) oraz osobno szczegółów produkcji (ile się produkuje) — ceny dualnej środków: czy dany środek jest wyczerpany w rozwiązaniu optymalnym, czy nie wyczerpany 

   Matematyczne techniki zarządzania - 216 3. Skutki zmiany współczynników technologicznych (macierzy A) wprowadzenie nowego wyrobu  Pytanie: ile musi wynosić c3, aby rozwiązanie optymalne uległo zmianie, czyli aby wyrób trzeci wszedł do produkcji? Przykład odpowiedzi: jeśli c3>14, wyrób trzeci wejdzie do produkcji zmiana technologii produkcji Zagadnienie skomplikowane POMIJAMY DUŻE PROFESJONALNE PROGRAMY KOMPUTEROWE UMOŻLIWIAJĄ ANALIZOWANIE WRAŻLIWOŚCI ROZWIĄZANIA OPTYMALNEGO NA RÓWNOCZESNĄ ZMIANĘ KILKU CZYNNIKÓW  WIĘCEJ INFORMACJI O ANALIZIE WRAŻLIWOŚCI W SKRYPCIE (ROZDZIAŁ 7) WYDRUK Z PROGRAMU QSB+ ZAWIERA DUŻO ELEMENTÓW ANALIZY WRAŻLIWOŚCI 

Matematyczne techniki zarządzania - 217 Przy interpretacji wydruku obowiązuje podwójny język: matematyczny ekonomiczny (menedżerski) WYDRUK Z PROGRAMU QSB+ CZĘŚĆ PIERWSZA Numer zmiennej decyzyjnej  numer wyrobu  numer składnika mieszanki Rozwiązanie (optymalne wartości zmiennych decyzyjnych)  ilości produkowanych wyrobów  ilości użytych składników Nazwa projektu Koszty alternatywne (względne) O ile trzeba zmienić współczynnik funkcji celu, aby wyrób (skład-nik) wszedł do rozwią-zania optymalnego (w przykładzie = 0, gdyż ilości są różne od zera) Optymalne zakresy współczynników funkcji celu  przedziały zysku jednostkowego nie powodujące zmiany planu produkcji  przedziały ceny składników nie po-wodujące zmiany receptury miesza-nki Optymalna wartość funkcji celu  maksymalny zysk producenta  minimalny koszt mieszanki Współczynniki funkcji celu (macierz C)  zyski jednost-kowe z wyrobów  ceny składników mieszanki Czas szukania optymalnego rozwiązania Liczba iteracji wykonanych przez komputer

Matematyczne techniki zarządzania - 218 Przy interpretacji wydruku obowiązuje podwójny język: matematyczny ekonomiczny (menedżerski) WYDRUK Z PROGRAMU QSB+ CZĘŚĆ DRUGA Numer ograniczenia (warunku)  numer środka produkcji  numer komponentu mieszanki Ograniczenia (macierz B) z nierównością  ilości posiadanych środków produkcji  najmniejsze dopuszczalne ilości komponentów (normy) Sposób spełniania nierówności z warunków ograniczających (loose = nierówność silna, tight = nierówność słaba)  loose = środek produkcji jest w nadmiarze; tight = środek produkcji wyczerpany  loose = komponent jest w nadmiarze; tight = komponen- tu jest dokładnie według wy-magań normy Ceny dualne  dodatkowy zysk z dodat-kowej jedno-stki środka  zmiana ko-sztu miesza-nki po zmnie-jszeniu nor-my o jednos-tkę Luz czyli nadmiar  ilość niewycze-rpanego środka produkcji  ilość kompone-ntu ponad normę Wartości zakresów ograniczeń (macierzy B), w których wartość optymalna funkcji celu zmienia się zgodnie z cenami dualnymi  zakresy dla ilości środka produkcji  zakresy dla ilości komponentu mieszanki

Matematyczne techniki zarządzania - 219 ZAST0SOWANIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO planowanie produkcji  ile i czego  ile i jaką metodą  ile i z czego  ile i kiedy optymalizacja strategii rozwoju koncernu optymalizacja rozwoju branż gospodarki narodowej optymalizacja strategii reklamowej optymalizacja przepływów w sieciach optymalizacja kontraktacji w rolnictwie zagadnienia dowozu i przewozu (autobusy, lotnictwo) zagadnienia techniczne: projektowanie, cięcie, rozkrój harmonogramy dyżurów, plany zajęć teoria gier JEST TO METODA UNIWERSALNA PRAWIE WSZYSTKO MOŻNA ZAPISAĆ JAKO MODEL PROGRAMOWANIA LINIOWEGO SETKI ZADAŃ W KSIĄŻCE WAGNERA BADANIA OPERACYJNE UMIEJĘTNOŚĆ INTERPRETACJI WYDRUKU Z PROGRAMOWANIA LINIOWEGO TO MINIMUM WIEDZY STUDENTA

CAŁKO-WITOLI-CZBOWOŚĆ Matematyczne techniki zarządzania - 220  KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE Twierdzenia związane z KZT 1. ZAGADNIENIE MOŻE BYĆ OTWARTE LUB ZAMKNIĘTE MODEL Zagadnienie otwarte sprowadza się do zamkniętego przez wprowadzenie fik-cyjnego dostawcy lub odbiorcy 2. JEŚLI DANE SĄ LICZBAMI CAŁKOWITYMI, TO KZT MA CO NAJMNIEJ JEDNO ROZWIĄZANIE CAŁKOWITOLICZBOWE 3. JEŚLI ISTNIEJĄ DWA ROZWIĄZANIA OPTYMALNE, MOŻNA TWORZYĆ NOWE JAK PRZY PROGRAMOWANIU LINIOWYM CAŁKO-WITOLI-CZBOWOŚĆ

Matematyczne techniki zarządzania - 221 4. ROZWIĄZANIE OPTYMALNE NIE ULEGNIE ZMIANIE, JEŚLI NA MACIERZY ODLEGŁOŚCI C WYKONAMY: mnożenie (dzielenie) całej macierzy przez stałą (zmiana skali liczb) dodawanie (odejmowanie) stałej do pojedynczych wierszy i kolumn (tworzenie klatek zerowych) UZYSKANE W TEN SPOSÓB NOWE ODLEGŁOŚCI NAZYWAMY PSEUDOODLEGŁOŚCIAMI METODA KLATEK ZEROWYCH Przykład 47. Znajdź metodą klatek zerowych optymalny plan rozwozu konserw rybnych z czterech portów do pięciu miast w głębi kraju. Odle-głości podano w km, a podaż i popyt w postaci liczby kontenerów. Funkcja celu (w kontenero-kilometrach) Zmienna decyzyjna xij określa ile kontenerów trzeba przewieźć od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, tak aby jak najmniejszym kosz-tem wywieźć konserwy z portów do odbiorców zgodnie z ich zapo-trzebowaniem. TO ZAGADNIENIE JEST ZAMKNIĘTE!

Przewozy ulokujemy w klatkach zerowych Matematyczne techniki zarządzania - 222 ETAP 1. Wprowadzenie zer do kolumn przez odjęcie najmniejszych odległości od elementów kolumny 1 odejmujemy 482 od elementów kolumny 2 odejmujemy 621 od elementów kolumny 3 odejmujemy 353 od elementów kolumny 4 odejmujemy 210 od elementów kolumny 5 odejmujemy 651 Dążymy do tego, aby klatka zerowa była w każdej kolumnie i w każdym wierszu Przewozy ulokujemy w klatkach zerowych ETAP 2. Wprowadzenie zer do wierszy przez odjęcie najmniejszych odległości (wiersz 2: 101, wiersz 3: 10)

Matematyczne techniki zarządzania - 223 ETAP 3. Ulokowanie przewozów w klatkach zerowych Czynność tę można rozpocząć od dowolnej decyzji, byle ona mogła być jednoznaczna; gdzie wywieźć kontenery z Gdyni lub ze Szczecina — nie można teraz ustalić, ale moż-na to ustalić dla Ustki i Kołobrzegu Dec. 1: 7 kontenerów z Ustki do Torunia ROZWIĄZANIE OPTYMALNE Dec. 2: 12 kontenerów z Kołobrzegu do Krakowa Dec. 3: 18 kontenerów z Gdyni do Krakowa Dec. 4: 15 kontenerów ze Szczecina do Wrocławia Dec. 5: 7 kontenerów z Gdyni do Torunia Dec. 6: 8 kontenerów z Gdyni do Kielc DECYZJE PODEJMOWA-NE W SPOSÓB PRZYPA-DKOWY DAWAŁY WYNI-KI WYŻSZE 0 5-10% Dec. 7: 3 kontenery z Gdyni do Częstochowy Dec. 8: 12 kontenerów ze Szczecina do Częstochowy MINIMALNA WARTOŚĆ FUNKCJI CELU

Matematyczne techniki zarządzania - 224 INNE METODY „RĘCZNE” metoda Forda-Fulkersona (tworzenie dalszych klatek zerowych) metoda kąta północno-zachodniego (metoda węgierska) SIMPLEKS TRANSPORTOWY (PROGRAMOWANIE LINIOWE) JAK TO PRZE-KSZTAŁCIĆ W PROGRAMOWA-NIE LINIOWE? TYPOWA TABELKA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO To zadanie łatwiej rozwią-zać wykorzystując zagad-nienie dualne asymetryczne Gdzie są i jak powstały ma-cierze A, B i C? Jak się mają do siebie macierze zagadnienia transportowego i macierze programowania liniowego?

Matematyczne techniki zarządzania - 225 Klasyczne zagadnienie transportowe ma wiele wersji i zastosowań, często do zadań nie mających nic wspólnego z przewozami Możliwe jest wprowadzenie ograniczeń na przepustowość poszczególnych tras ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU MATEMATYCZ-NIE JEST TO SZCZEGÓLNY PRZYPADEK KZT Polega na takim rozdzieleniu n zadań pomiędzy n wykonawców, aby łączny efekt był jak najko-rzystniejszy (znamy nakład cij potrzebny i-temu wykonawcy do wykonania j-tego zadania) Jeden wykonawca może otrzy-mać tylko jedno zadanie ZWYKLE DOTYCZY PRODUKCJI Przykłady zagadnienia przydziału asystent ma 15 tematów dla 15 studentów i wie jaką notę otrzyma każdy student z każdego tematu; celem będzie taki przydział, aby w sumie grupa uzyskała jak najwyższą ocenę kierownik ma 6 obrabiarek i 6 zadań obróbczych do wykonania; jeśli wie ile trwa każde zadanie na każdej obrabiarce, może tak je przydzielić, aby wszystkie za-dania zostały wykonane w jak najkrótszym czasie jeśli istnieje kolejność obróbki — problem szeregowania

długości i kąty łuków nie mają żadnego znaczenia  Matematyczne techniki zarządzania - 226 ANALIZA SIECIOWA sieć to uniwersalne narzędzie (można przy jej użyciu rozwiązywać wiele problemów nie mają-cych żadnej „siatki”) rozróżniamy sieci cykliczne i acykliczne rozwiązanie sieci polega na znalezieniu:  najkrótszej drogi  najdłuższej drogi metody rozwiązywania sieci JAK RYSOWAĆ SIEĆ? długości i kąty łuków nie mają żadnego znaczenia  ręcznie  programowanie liniowe  programowanie dynamiczne  profesjonalne programy komputerowe  Szukanie najkrótszej drogi (zagadnienie dyliżansu) Przykład 48 Cij km (mile) godziny złotówki

Matematyczne techniki zarządzania - 227 Programowanie liniowe — sieć jest szczególnym przypadkiem za-gadnienia przydziału: zmiennych decyzyjnych jest tyle, ile jest łuków: 1 — iść łukiem, 0 — nie iść łukiem warunków ograniczających jest tyle, ile jest węzłów; mamy ich trzy rodzaje:  węzeł początkowy: prawa strona = 1  węzeł pośredni: prawa strona = 0  węzeł końcowy: prawa strona = —1 współczynniki technologiczne:  wyjście z węzła: +1  przyjście do węzła: —1 Przykład 48 cd.

Z tych danych możne ułożyć klasyczną tabelkę progra-mowania liniowego Matematyczne techniki zarządzania - 228 Model decyzyjny Z tych danych możne ułożyć klasyczną tabelkę progra-mowania liniowego Model ten można łatwiej rozwiązać przez wykorzys-tanie asymetrycznego za-gadnienia dualnego Ogólna postać modelu najkrótszej drogi w sieci 

KTÓRĘDY PROWADZI NAJDŁUŻSZA DROGA W TEJ SIECI I JAKA JEST JEJ DŁUGOŚĆ?  Matematyczne techniki zarządzania - 229 Szukanie najdłuższej drogi (metoda ścieżki krytycznej — CPM) Przykład 49. Zorganizować budowę domu w jak najkrótszym czasie KTÓRĘDY PROWADZI NAJDŁUŻSZA DROGA W TEJ SIECI I JAKA JEST JEJ DŁUGOŚĆ? Ścieżka krytyczna prowadzi przez węzły 1 - 2 - 3 - 4 - 6 -7 - 8 - 10 - 11 i ma długość wynoszącą 43 dni. Czynności krytyczne (bez zapasu czasu): C, D, I, H, M, L Czynności niekrytyczne (z zapasem czasu): A, B, E, F, G, J, N, K

Wnioski dla kierownictwa  Matematyczne techniki zarządzania - 230 Istnieje wiele rodzajów zapasu czasu i wiele metod jego obliczania Wszystkie one bazują na danych: xi, xj, yi, yj Xi — najwcześniejszy mo-żliwy moment wystąpienia danego zdarzenia yi — najpóźniejszy dopusz-czalny moment wystąpie-nia danego zdarzenia Zapasy czasu dla czynności G: 2 dni dla czynności J: 3 dni dla czynności B: 13 dni dla czynności E: 8 dni dla czynności N: 24 dni dla czynności K: 24 dni Wnioski dla kierownictwa jak negocjować termin i cenę których prac pilnować szczególnie jak reagować na zakłócenia analiza wrażliwości

Matematyczne techniki zarządzania - 231 PODSUMOWANIE  całe przedsięwzięcie dzieli się na po-jedyncze czynności ustala się techniczną kolejność czyn-ności ustala się czas realizacji poszczegól-nych czynności buduje się sieć, w której czynności to łuki, a węzły to momenty czasu (zda-rzenia, sytuacje) sieć musi mieć jeden początek i jeden koniec dwa zdarzenia mogą być połączone tylko jednym łukiem, trzeba więc wprowadzać czynności puste szuka się najdłuższej drogi w sieci, co daje optymalne rozwiązanie problemu problem najdłuższej drogi można także sprowadzić do programowania liniowego (prawe strony: = —1, 0, +1) Metoda PERT Czasy wszystkich lub niektó-rych czynności są zmiennymi losowymi, danymi np. przez t1 (1%), t2, t3 (1%) Jak liczymy? Dla każdej czynności Znajdujemy ścieżkę krytycz-ną i dla niej liczymy parame-try czasu realizacji całego przedsięwzięcia

PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Matematyczne techniki zarządzania - 232 Inny przykład problemu sieciowego Planowanie zatrudnienia w dużym przedsiębiorstwie o zmiennym (sezono-wym zapotrzeowaniu na siłę roboczą DANE okresy: 1, 2, ..., i, j, ..., n Ri — zapotrzebowanie na siłę roboczą w i-tym okresie cij — koszt rekrutacji jednego pracownika w i-tym okresie i utrzymania go w pracy do okresu j-tego ZMIENNA DECYZYJNA xij — liczba pracowników przyjęta do pracy w i-tym okresie i zwolniona z niej w okresie j-tym FUNKCJA CELU WARUNKI OGRANICZAJĄCE — bilanse pracowników zatrudnionych w i-tym okresie PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Polega ona na podziale dużego problemu optymalizacyjnego na szereg mniejszych problemów rozwiązywanych po kolei (etapami) oddzielnie Zasada Bellmana Si-1— stan układu na początku etapu Si — stan układu na końcu etapu ETAP 1 ETAP 2 ETAP i

NIE ROZPATRUJEMY NIGDY ETAPÓW WCZEŚNIEJSZYCH ROZWIĄZANIESZCZEGÓŁOWE Matematyczne techniki zarządzania - 233 Zasada Bellmana głosi, że decyzja podejmowana w i-tym etapie jest wyłącznie funkcją stanu układu (systemu) na początku tego etapu i nie jest zależna od sposobu dojścia do tego stanu NIE ROZPATRUJEMY NIGDY ETAPÓW WCZEŚNIEJSZYCH Funkcja celu Zastosowania programowania dynamicznego  rozwiązywanie sieci  sterowanie zapasami  zagadnienia wieloetapowe  alokacja kapitału  problemy techniczne  zagadnienie plecaka  programowanie nieliniowe  wymiana urządzeń     W trakcie rozwiązywania zadań stosuje się indukcję odwrotną ROZWIĄZANIE OGÓLNE ETAP OSTATNI ETAP PIERWSZY ROZWIĄZANIESZCZEGÓŁOWE

Wracamy „żółtymi śladami” najkrótsza droga: 8 - 7 - 6 - 4 - 3 - 2 - 1  Matematyczne techniki zarządzania - 234 Szukanie najkrótszej drogi (zagadnienie dyliżansu) Przykład 50. Znajdź metodą programowania dynamicznego najkrótszą drogę z węzła 8 do węzła 1. Funkcja celu (stan systemu) fi = min  Cij km (mile) godziny złotówki Wracamy „żółtymi śladami” najkrótsza droga: 8 - 7 - 6 - 4 - 3 - 2 - 1 jej długość wynosi 8 mil

RÓWNANIE REKURENCYJNE Matematyczne techniki zarządzania - 235 Rozwiązanie matematyczne: INTERPRETACJA fi 1. Minimalna wartość funkcji celu po i-tym etapie (badania operacyjne) 2. Stan systemu po i-tym etapie (programowanie dynamiczne) 3. Najkrótsza droga z i-tego węzła do węzła końcowego „1” Zadanie zostało rozwiązane przy użyciu modelu RÓWNANIE REKURENCYJNE Wada programowania dynamicznego: nie ma uniwersalnego modelu i do każdego problemu trzeba budować oddzielny model Sterowanie zapasami wyrobów gotowych   Przykład 51. Zoptymalizować wielkość zapasów wyrobów gotowych w fabryce Niezawodny dostawca (wg książki Wagnera) Dane: wielkość produkcji xt: od 0 do 5 sztuk pojemność magazynu it: 4 sztuki popyt miesięczny stały dt: 3 sztuki

Matematyczne techniki zarządzania - 236 Kryterium decyzyjne: fi = min(koszty produkcji + koszty magazynowania) Koszty produkcji: Koszty magazynowania: Czas analizy: 6 miesięcy — od I do VI numerujemy miesiące wstecz: lipiec = 0, czerwiec =1 itd. LIPIEC n = 0 t = 0 i0 = 0 na koniec czerwca magazyn ma być pusty CZERWIEC n = 1 nie ma kosztów magazynowania, ale są 4 możliwości, jeśli chodzi t = 1 o sposób pokrycia czerwcowego zapotrzebowania (różny udział produkcji czerwcowej i zapasów z maja); stan zapasów na początku czerwca: 0, 1, 2, 3 x1 to decyzja wyznaczająca wielkość produkcji w czerwcu (x1+i1=3), natomiast f1 to skutek finansowy decyzji x1, zależny także od decyzji podjętych we wcześniejszych miesiącach, czyli od stanu na początku etapu 1-szego

Matematyczne techniki zarządzania - 237 MAJ n = 2 t = 2 Teraz mogą wystąpić koszty magazynowania, posłużymy się więc równaniem rekurencyjnym skutki decyzji bieżącej stan na początku etapu t stan zapasów na początku maja 19=koszty produkcji; 0=koszty magazynowania; 19 z tabelki dla czerwca Szukamy dla każdego wiersza takiej decyzji x2, która da najmniejszą war-tość f2 kosztów działalności przedsiębiorstwa w maju i czerwcu łącznie Po zakończeniu wszystkich obliczeń otrzy-mamy następujące rozwiązanie ogólne (model) minimalizacji kosztów działalności przedsiębiorstwa przez wybór optymalnej wielkości produkcji KWIECIEŃ n = 3 MARZEC n = 4 LUTY n = 5 STYCZEŃ n = 6

TEN MODEL TEŻ JEST SIECIĄ ROZWIĄZANIESZCZEGÓŁOWE ROZWIĄZANIE OGÓLNE Matematyczne techniki zarządzania - 238 TEN MODEL TEŻ JEST SIECIĄ n=6 n=5 n=4 ROZWIĄZANIESZCZEGÓŁOWE Znajdziemy je dla i6 = 3, tj. dla założenia, że stan zapa-sów na początku stycznia wynosi 3 sztuki Szukamy najkrótszej drogi w tej sieci od zaznaczonego węzła do węzła końcowego, tj. takiej strategii produkcji wyrobów, która odpowiada minimalnym kosztom działalności przedsię-biorstwa itd... itd...

(optymalny plan produkcji) DECYZJA Z MODELU Matematyczne techniki zarządzania - 239 79 n=6 STYCZEŃ 79 n=5 LUTY 54 n=4 MARZEC 27 n=3 KWIECIEŃ 26 n=2 MAJ OPTYMALNA DECYZJA (optymalny plan produkcji) dla założenia i6 = 3 X = [0 5 5 0 5 0] n=1 CZERWIEC n=0 LIPIEC Podobnie można znaleźć optymalne rozwiązanie dla innych założeń odnośnie do zapasu wyrobów na początek stycznia Wzór rekurencyjny stosowany do tego zadania Koncentracja produkcji! Dlaczego? Wynika to z efektu skali! skutki decyzji bieżącej stan na początku etapu t

 Matematyczne techniki zarządzania - 240 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI horyzont planowania zapas początkowy zdolność produkcyjna  pojemność magazynu popyt Optymalny rozdział nakładów inwestycyjnych  Przypomnienie: należy rozdzielić kwotę K pomiędzy n obiektów o efek-tywności qi(xi), gdzie xi — kwota przydzielona i-temu obiektowi, tak aby łączny efekt z kwoty K był możliwie jak największy Rozwiązanie ogólne Funkcje efektywności poszczególnych obiektów Równanie rekurencyjne (funkcje celu)