OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA

Definicja okręgu dopisanego do trójkąta Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg, który jest styczny do jednego boku i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Środek okręgu dopisanego wyznaczany jest jako punkt przecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych przy dwóch wierzchołkach trójkąta i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy trzecim wierzchołku.

Rysunek poglądowy A1, A2, A3 – wierzchołki trójkąta, Q1, Q2, Q3 – środki okręgów dopisanych do trójkąta, r1, r2, r3 – promienie okręgów dopisanych, r – promień okręgu wpisanego w trójkąt, S – środek okręgu wpisanego w trójkąt, 1, 2, 3 - kąty w trójkącie (przy czym kąt 1 leży przy wierzchołku A1, 2 przy A2, 3 przy A3), R – promień okręgu opisanego na trójkącie, m1, m2, m3 – środkowe trójkąta, p – połowa obwodu,

Wzory na pole trójkąta Pole trójkąta A1, A2, A3 równa się sumie pól trójkątów parami przestających SD1A2 i SD2A2, SD2A3 i SD3A3, SD3A1 i SD1A1. Wiemy, że: Więc:

dla i = 1,2,3 ponieważ A1Q2W jest taki sam jak  A1Q2D3 (mają wspólną przeciwprostokątną A1Q2, tej samej długości przyprostokątną Q2W i Q2D3 równą r2 i odpowiadający kąt prosty). Z trójkąta A2Q2W wynika, że : Rozpatrując trójkąty A1Q1W2 i A3Q3W3 analogicznie dowodzimy, że

Zależność między promieniem okręgu opisanego a bokami trójkąta Wiadomo, że: Czyli: Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez a2 a3 otrzymamy: Korzystając ze wzory na pole trójkąta: Otrzymujemy wzór końcowy.

Zależności między długościami boków trójkąta a promieniami okręgów dopisanych

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta: Bok a1 ma długość: Korzystając ze wzoru na pole trójkąta: A zatem: Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

Obie strony równanie podnosimy do kwadratu. Obliczamy r ze wzoru: i podstawiamy do wzoru na a1. Pierwiastkujemy obie strony równania i otrzymujemy wzór końcowy.

Rozumując analogicznie i uwzględniając wzory: dowodzi się wzory na :

Długość środkowej trójkąta Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta A1A2P wynika: Z trójkąta A1A2A3 wyliczymy cos.

Do wzoru () podstawiamy wyliczony cos2. W analogiczny sposób udowadniamy wzory dla m2 i m3.

Zależność między środkowymi a promieniami okręgów dopisanych. Dowód: Udowadniamy. Z wzoru na pole trójkąta wiemy, że: Następnie korzystamy ze wzoru Herona:

W analogiczny sposób wyliczamy r2 i r3. A zatem: W analogiczny sposób wyliczamy r2 i r3. Następnie obliczamy lewą stronę równania: Podstawiamy do wzoru:

PANI mgr ELŻBIETY WESOŁOWSKIEJ WYKONALI: DAWID OBAL SŁAWOMIR MOŁOKO POD NADZOREM PANI mgr ELŻBIETY WESOŁOWSKIEJ