OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
TRÓJKĄTY Karolina Szczypta.
Advertisements

Wielokąty i okręgi.
Konstrukcje trójkątów
WIELOKĄTY I OKRĘGI Monika Nowicka.
Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu O są równe r r - promień okręgu. r O O - środek.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Trójkąty.
Okrąg opisany na trójkącie
Podstawowe wiadomości o wielokątach foremnych
Wielokąty foremne.
Okrąg wpisany w trójkąt
Czworokąty Wykonał: Tomek J. kl. 6a.
materiały dydaktyczne dla klasy piątej
TRÓJKĄTY I ICH WŁASNOŚCI
WIELOKĄTY PRZYKŁADY WIELOKĄTÓW TRÓJKĄTY CZWOROKĄTY WIELOKĄTY FOREMNE.
Przykłady Zastosowania Średnich W Geometrii
„Własności figur płaskich” TRÓJKĄTY
Temat: Okrąg wpisany i opisany na wielokącie foremnym.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
na poziomie rozszerzonym
Krótki kurs geometrii płaszczyzny
Okrąg wpisany w trójkąt.
,, W KRAINIE CZWOROKĄTÓW ,, Adam Filipowicz VA SPIS TREŚCI
Trójkąty - ich właściwości i rodzaje
Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.
← KOLEJNY SLAJD →.
Trójkąty.
RÓŻNE WZORY NA POLA TRÓJKĄTÓW
Pitagoras z Samos.
OKRĄG OPISANY NA CZWOROKĄCIE; OKRĄG WPISANY W CZWOROKĄT
Trójkąty.
Podstawowe własności trójkątów
RES POLONA Kazimierz Żylak.
Opracowała: Iwona Kowalik
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Wielokąty foremne ©M.
Prezentacja dla klasy II gimnazjum
KOŁA I OKRĘGI.
Wielokąty wpisane i opisane na okręgu
Możesz kliknąć na odnośnik. Aby wyjść naciśnij Esc
Trójkąty i ich własności Michał Kassjański Konrad Zuzda.
Prezentacja dla klasy II gimnazjum
Okrąg opisany na trójkącie. Okrąg wpisany w trójkąt
Okrąg opisany na trójkącie
Pola i obwody figur płaskich.
Najważniejsze twierdzenia w geometrii
Pitagoras.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
Twierdzenie pitagorasa
Autor: Marcin Różański
Trójkąty Katarzyna Bereźnicka
WIELOKĄTY Karolina Zielińska kl.v Aleksandra Michałek kl v
Klasa 3 powtórka przed egzaminem
Co to jest wysokość?.
Opracowanie Joanna Szymańska Konsultacja Bożena Hołownia.
Opracowanie Joanna Szymańska Konsultacja Bożena Hołownia.
Matematyka to tak prosty, a zarazem przyjemny przedmiot, że aż miło się go uczyć! Szczególnie przyjemnym działem matematyki są figury – z czym się wiąże.
WSZYSTKO CO POWINIENEŚ O NICH WIEDZIEĆ…
FIGURY GEOMETRYCZNE Pracę wykonali : Adam Nikodem Maksym Wróbel Bartłomiej Kaleta Szata graficzna i efekty: Adam Nikodem Materiały: Maksym Wróbel Bartłomiej.
FIGURY PŁASKIE.
Figury płaskie.
Wielokąty wpisane w okrąg
Figury geometryczne.
Okrąg opisany na trójkącie.
Matematyka czyli tam i z powrotem…
Okrąg wpisany w trójkąt.
Okręgi wpisane i opisane na wielokątach foremnych.
Rodzaje i własności trójkątów
opracowanie: Ewa Miksa
Zapis prezentacji:

OKRĘGI DOPISANE DO TRÓJKĄTA

Definicja okręgu dopisanego do trójkąta Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg, który jest styczny do jednego boku i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Środek okręgu dopisanego wyznaczany jest jako punkt przecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych przy dwóch wierzchołkach trójkąta i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy trzecim wierzchołku.

Rysunek poglądowy A1, A2, A3 – wierzchołki trójkąta, Q1, Q2, Q3 – środki okręgów dopisanych do trójkąta, r1, r2, r3 – promienie okręgów dopisanych, r – promień okręgu wpisanego w trójkąt, S – środek okręgu wpisanego w trójkąt, 1, 2, 3 - kąty w trójkącie (przy czym kąt 1 leży przy wierzchołku A1, 2 przy A2, 3 przy A3), R – promień okręgu opisanego na trójkącie, m1, m2, m3 – środkowe trójkąta, p – połowa obwodu,

Wzory na pole trójkąta Pole trójkąta A1, A2, A3 równa się sumie pól trójkątów parami przestających SD1A2 i SD2A2, SD2A3 i SD3A3, SD3A1 i SD1A1. Wiemy, że: Więc:

dla i = 1,2,3 ponieważ A1Q2W jest taki sam jak  A1Q2D3 (mają wspólną przeciwprostokątną A1Q2, tej samej długości przyprostokątną Q2W i Q2D3 równą r2 i odpowiadający kąt prosty). Z trójkąta A2Q2W wynika, że : Rozpatrując trójkąty A1Q1W2 i A3Q3W3 analogicznie dowodzimy, że

Zależność między promieniem okręgu opisanego a bokami trójkąta Wiadomo, że: Czyli: Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez a2 a3 otrzymamy: Korzystając ze wzory na pole trójkąta: Otrzymujemy wzór końcowy.

Zależności między długościami boków trójkąta a promieniami okręgów dopisanych

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta: Bok a1 ma długość: Korzystając ze wzoru na pole trójkąta: A zatem: Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta.

Obie strony równanie podnosimy do kwadratu. Obliczamy r ze wzoru: i podstawiamy do wzoru na a1. Pierwiastkujemy obie strony równania i otrzymujemy wzór końcowy.

Rozumując analogicznie i uwzględniając wzory: dowodzi się wzory na :

Długość środkowej trójkąta Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta A1A2P wynika: Z trójkąta A1A2A3 wyliczymy cos.

Do wzoru () podstawiamy wyliczony cos2. W analogiczny sposób udowadniamy wzory dla m2 i m3.

Zależność między środkowymi a promieniami okręgów dopisanych. Dowód: Udowadniamy. Z wzoru na pole trójkąta wiemy, że: Następnie korzystamy ze wzoru Herona:

W analogiczny sposób wyliczamy r2 i r3. A zatem: W analogiczny sposób wyliczamy r2 i r3. Następnie obliczamy lewą stronę równania: Podstawiamy do wzoru:

PANI mgr ELŻBIETY WESOŁOWSKIEJ WYKONALI: DAWID OBAL SŁAWOMIR MOŁOKO POD NADZOREM PANI mgr ELŻBIETY WESOŁOWSKIEJ