Autor: Olszewski Kamil Klasa I TM K ą t y Autor: Olszewski Kamil Klasa I TM

Półproste OA , OB to ramiona kąta, punkt O – wierzchołek kąta. Kąty Definicja: Kąt jest to suma dwóch półprostych o wspólnym początku i jednej z dwóch figur (zwanej wnętrzem kąta) wyciętych z płaszczyzny przez sumę tych półprostych. Półproste OA , OB to ramiona kąta, punkt O – wierzchołek kąta. Uwaga: Półproste OA, OB wyznaczają dwa kąty: Kąt wypukły AOB (zaznaczony zielonym kolorem) i kąt wklęsły AOB (zaznaczony kolorem czerwonym).

Kąt pełny i kąt zerowy Jeżeli ramiona kąta się pokrywają to otrzymujemy kąt pełny lub kąt zerowy. Kąt pełny to płaszczyzna z wyróżnioną półprostą (rys. a); kąt zerowy to wyróżniona półprosta na płaszczyźnie (rys. b). a) b) W celu łatwego porównywania kątów wprowadza się ich miarę, nazywaną czasami rozwartością kąta. Miara jest pewną funkcją, która kątowi (czyli figurze geometrycznej) przypisuje – charakteryzującą ten kąt – liczbę. Aby określić miarę danego kąta, należy najpierw zdefiniować kąt jednostkowy, a następnie określić, ile razy kąt jednostkowy mieści się razy w interesującym nas kącie. Otrzymana liczba jest miarą kąta.

Miara Stopniowa Jednostką tej miary jest kąt równy kąta pełnego – jego miara wynosi 1o (jeden stopień). Jeden stopień dzieli się na 60 minut (1o = 60‘) a jedna minuta to 60 sekund (1’ = 60’’) W matematyce oprócz miary stopniowej są używane również inne miary kątów. Jedną z tych miar jest miara łukowa. W tych miarach są używane przeróżne oznaczenia : np. Jeden gradus (1g ) – równy kąta pełnego – ta miara jest używana głównie we Francji. Natomiast w nawigacji morskiej jednostką kąta płaskiego jest 1 rumb, równy kąta pełnego.

Kąty – przykład 1 Z dowolnego punktu O prowadzimy półproste OA , OB ,OC , OD , OE . Miary kątów wypukłych: AOB, BOC, COD, DOE, EOA mają się do siebie jak 2:3:4:5:6. Należy obliczyć miary tych kątów. Obliczanie poszczególnych kątów można sobie ułatwić przyjmując że: | AOB| = 2α. A więc kolejne kąty mają następujące miary: | BOC| = 3α, | COD| =4α, | DOE| =5α, | EOA| =6α.Przy takim oznaczeniu α jest przez nas uważany za kąt jednostkowy, za pomocą którego wyrażać będziemy pozostałe kąty. Suma kątów AOB, BOC, COD, DOE, EOA, jest kątem pełnym, zatem: ROZWIĄZANIE NA NASTĘPNEJ STRONIE

Kąty – przykład pierwszy – CD 2α + 3α + 4α + 5α + 6α = 360o 20α =360o α = 18o Więc | AOB| = 36o, | BOC| = 54o, | COD| =72o, | DOE| = 90o, | EOA = 108o . I w ten oto prosty sposób można otrzymać rozwiązanie z tego rodzaju zadań ; oczywiście są również inne metody rozwiązania tego typu zadań ale według mnie ten sposób jest na tyle prosty że każdy uczeń da sobie z nim radę.

Rodzaje kątów: Definicja2: Definicja3: Kątem półpełnym nazywamy kąt, którego ramiona wzajemnie się dopełniają. Miara kąta półpełnego wynosi 180o. Definicja3: Dwa kąty są przyległe, jeżeli mają jedno ramie wspólne, a dwa pozostałe ramiona się dopełniają. Suma kątów przyległych tworzy kąt półpełny, zatem suma ich miar wynosi 180o.

Rodzaje kątów – CD Defincja3: Jeżeli dwa kąty przyległe są równe, to każdy z nich nazywamy kątem prostym. Miara kąta prostego wynosi 90o. Na rysunkach kąt prosty oznaczamy symbolem lub . Kąty dzielą się na: a) wypukłe – miary tych kątów wynoszą od 0o do180o (wnętrza tych kątów są figurami wypukłymi) ; b) wklęsłe – miary ich wynoszą od 180o do 360o (wnętrza tych kątów są figurami wklęsłymi) . CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE

Rodzaje kątów – CD Podział kątów wypukłych: a) Kąty ostre – są mniejsze od kąta prostego czyli ich miara wynosi mniej niż 90o b) Kąty proste – został już opisany powyżej c) Kąty rozwarte – są większe od kąta prostego czyli ich miara wynosi więcej niż 90o CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE

Rodzaje kątów – CD Kąty wierzchołkowe: Definicja4: Kątami wierzchołkowymi nazywa się dwa kąty wypukłe, jeżeli ramiona jednego kąta są przedłużeniem ramion drugiego kąta. Na powyższym rysunku pokazane są dwie pary kątów wierzchołkowych: α1 , α2 oraz β1, β2 CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE

Rodzaje kątów – CD Twierdzenie 1: WNIOSEK: Kąty wierzchołkowe są równe. α1 +β1 = 1800 α2 +β1 = 1800 α1 = α2 WNIOSEK: Jeżeli jeden z kątów: α1, α 2, β1, β2 jest prosty to pozostałe też są proste.

Dwusieczna kąta Definicja5: a) b) Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta dzieląca go na dwa równe kąty. a) b) CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE

Dwusieczna kąta – CD Twierdzenie 2: Na pierwszym rysunku (a) narysowana jest dwusieczna kąta wypukłego natomiast na rysunku drugim (b) dwusieczna kąta wklęsłego. Dwusieczna kąta pełnego dzieli go na dwa kąty półpełne, dwusieczna kąta półpełnego dzieli go na dwa kąty proste. Twierdzenie 2: Dwusieczne kątów przyległych tworzą kąt prosty. AOB, BOC – kąty przyległe, OR - dwusieczna AOB OS - dwusieczna BOC CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE

Dwusieczna kąta – CD Teza dwusiecznej: Sprawdzenie: Analogicznie | ROS| = 900 Sprawdzenie: | AOR| = | ROB| = α (OR z założenia jest dwusieczną AOB), stąd | AOB| = 2α Analogicznie | BOS| = | SOC| = β, więc | BOC| = 2β. Zatem : | ROS| = α+β | AOB| + | BOC| = 2 α + 2β. Ale AOB i BOC są przyległe , tak więc: | AOB| + | BOC| = 1800 2α + 2β = 1800 |:2 α + β =900 | ROS| = α + β = 900.

To by było na tyle... KONIEC