Dane INFORMACYJNE szkoły Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 im. Bohaterów Monte Cassino w Złocieńcu ID grupy: 98_3_mf_g1 Opiekun: Bogusława Jarosz Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Twierdzenie Pitagorasa Semestr V , rok szkolny: 2011/2012

grecki filozof i matematyk Pitagoras z samos 572 p.n.e. – 497 p.n.e. grecki filozof i matematyk Urodził się na wyspie Samos, gdzie przebywał do 40 roku życia. Potem wyruszył z Jonii w długą podróż. Nabyte tam doświadczenia postanowił wykorzystać. W Krotonie w Grecji założył związek pitagorejski. Ten właśnie moment można uznać za początek kariery Pitagorasa, a być może także kariery jego uczniów.

dokonania Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Posługiwał się twierdzeniem nazwanym współcześnie jego imieniem, ale dowód tego matematycznego faktu sformułowany został znacznie później.

Inne osiągnięcia dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym wprowadzenie średniej arytmetycznej konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego muzyczny strój pitagorejski (to zupełnie co innego niż komat) – harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych

Radykalne Poglądy pitagorasa Wierzył w reinkarnację (sam uważał się za wcielenie Euforbusa – bohatera spod Troi). Był wegetarianinem, ponieważ wędrówka po śmierci dotyczyła również dusz zwierząt. Wyznawał pogląd, że nie wolno nosić wełnianej odzieży, należy pić jedynie wodę, jeść surowe pożywienie, bowiem wszystkie choroby są spowodowane niestrawnością. Pitagoras nie znosił szczególnie fasoli, nigdy jej nie jadł, ponieważ powodowała wzdęcia.

Własność trójkątów prostokątnych 9 + 16 = 25 A – pola kwadratów W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Interpretacja twierdzenia pitagorasa a² + b² = c² Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

dowód twierdzenia Pitagorasa a = 5 j, b = 4 j, c = 3 j A₁ = π 1.5² = 2.25 π j² A₃ = π 2² = 4 π j² A₂ = π 2.5² = 6.25 π j² A₂ = A₁ + A₃ 6.25 π j² = 2.25 π j² + 4π j²

Dowód z podobieństwa trójkątów ∆ ADC ≈ ∆ CDB ≈ ∆ ABC (cecha KKK) Z podobieństw zachodzą proporcje: a : c = c₂ : a, czyli a² = c₂ c b : c = c₁ : b, czyli b² = c₁ c Stąd a² + b² = c ( c₁ + c₂ ) = c²

Twierdzenie figuralne Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól dowolnych figur podobnych zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu figury podobnej do poprzednich zbudowanej na przeciwprostokątnej.

Twierdzenie cosinusów W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego miedzy nimi. c² = a² + b² - 2 ab cosγ

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Sentencja George Polya „Jeżeli chcecie nauczyć się pływać, to trzeba, żebyście weszli do wody. Jeżeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywania zadań, żebyście je rozwiązywali.”

Uczestnicy konkursu „zastosowanie twierdzenie Pitagorasa”

Podczas rozwiązywania zadań

Zwycięska grupa z klasy 2d

Twierdzenie Pitagorasa w życiu codziennym powszechne zastosowanie w budownictwie obliczenie drogi "na skróty" obliczanie przekątnej telewizora obliczanie wysokości np. budynku, góry określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach i sportach ekstremalnych) obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie wykorzystywane w obliczeniach komputerowych stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

wykorzystanie materiałów e-learningowych na lekcji matematyki

Podczas lekcji w klasie 3d

Przykłady zadań Zad. 1 Rozwiązanie: Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 20, a promień okręgu wpisanego 4. Ile wynosi pole trójkąta? Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równy jest połowie różnicy sumy przyprostokątnych i przeciwprostokątnej, tzn, a + b = 2r + c, stąd a + b = 28. Korzystamy teraz ze wzoru S = p · r, gdzie p jest połową obwodu trójkąta. S = 12(a + b + c) · r = 12(28 + 20) · 4 = 96. Pole trójkąta wynosi 96.

Obwód trójkąta równy jest x + y + 8 + x + 8 + y = 16 + 2 · 40 = 96. Cd zadań Zad.2 Rozwiązanie Ile wynosi obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego jest równa 8, a długość promienia okręgu opisanego jest równa 20?

Cd rozwiązania Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej, jej długość wynosi 40. Okrąg wpisany dzieli przyprostokątne na odcinki odpowiednio 8 i x, 8 i y, a x + y = 40. Obwód trójkąta równy jest: x + y + 8 + x + 8 + y = 16 + 2 · 40 = 96.

Układanki z trójkątów prostokątnych

może tak

Albo tak

Lub tak

liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Wiemy, że: Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość 3,4,5 nazywamy trójkątem egipskim. Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest zawsze liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim. W trójkątach prostokątnych równoramiennych przeciwprostokątna jest zawsze liczbą niewymierną.

Inne ciekawostki Trójek pitagorejskich jest nieskończenie wiele. Można je wyznaczać korzystając z twierdzenia: Jeśli n i k są liczbami naturalnymi i n>k , to liczby: a = n² - k², b = 2nk, c = n² + k² spełniają zależność a² + b² = c². Oto przykłady: 3, 4, 5 6, 8, 10 5, 12, 13 60, 80, 100

Źródła: GWO, praca zbiorowa, Matematyka 2 WSiP, Sz. Jeleński, Śladami Pitagorasa http://www.math.edu.pl http://pytamy.pl http://zadane.pl http://www.matematyka.wroc.pl