Liniowe modele decyzyjne – rozwiązania i analiza post-optymalizacyjna Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego I. Postać mieszana (1) Funkcja celu (2) Warunki ograniczające (3) Warunki nieujemności

II. Postać standardowa (1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań (2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne (3) warunki nieujemności są pełne Postać standardowa – Zapis I

Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego metodą simpleks, należy je zapisać w postaci standardowej Zasada 1: Jeżeli , to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1 Zasada 2: Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia: Zasada 3: Jeżeli zmienna nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy podstawienia

Zasada 4: Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: Zasada 5 Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: - zmienne swobodne lub uzupełniające

Twierdzenie 1: Zadanie programowania liniowego z funkcją celu: jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu: Spełniona jest przy tym zależność: Twierdzenie 2: Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu postaci: funkcją celu postaci: to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne

Postać standardowa – Zapis II Postać standardowa – Zapis III gdzie:

Postać standardowa – Zapis IV gdzie:

Zużycie surowca w tonach na tonę farby Rozwiązywanie i analiza post-optymalizacyjna zadań programowania liniowego - studium przypadku Przykład: Pewna firma produkuje dwa rodzaje farb: dla prac wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowane farby kierowane są do sprzedaży hurtowej. Do produkcji farb stosuje się dwa surowce A i B. Maksymalne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B na jedną tonę odpowiedniej farby podaje tabela. Zużycie surowca w tonach na tonę farby Maksymalna dostępna dziennie ilość surowca Surowiec Farba E Farba I A 1 2 6 B 2 1 8 Badanie rynku pokazało, że dzienny popyt na farbę I nigdy nie przewyższa popytu na farbę E o więcej niż 1 tonę. Poza tym ustalono, że popyt na farbę I nigdy nie przekracza 2 ton na dobę. Ceny hurtowe jednej tony farb są równe: 3j.p. dla farby E, i 2j.p. dla farby I. Jakie ilości farby E i I powinna produkować firma, aby dochód z produkcji był maksymalny?

- dzienna produkcja farby E w tonach Opcje decyzyjne: - dzienna produkcja farby E w tonach - dzienna produkcja farby I w tonach Funkcja celu: zmaksymalizować: Ograniczenia: Zasoby dzienne surowca A: 1 Zasoby dzienne surowca B: 2 Różnica popytu na farbę I i E: 3 Popyt na farbę I: 4 Warunki nieujemności: 5 6

Obszar rozwiązań dopuszczalnych i linia stałej wartości funkcji celu: 6 1 2 3 4 5

Znajdowanie rozwiązania optymalnego: 6 .

Ponadto (nietrudno policzyć): Rozwiązanie optymalne punktem wierzchołkowym; punkt wierzchołkowy rozwiązaniem bazowym Punkt optymalny: 6 oraz: Ponadto (nietrudno policzyć):

Rozwiązanie optymalne dla sformułowania standardowego - rozwiązanie bazowe

Pierwsze zadanie analizy wrażliwości Wpływ zmiany ilości poszczególnych zasobów na aktualne rozwiązanie optymalne Formalna nazwa: analiza wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń Ograniczenia: aktywne i nieaktywne Ograniczenie jest aktywne dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli  przechodzi przez punkt tego rozwiązania  spełnione jest równościowo w punkcie tego rozwiązania W przeciwnym przypadku ograniczenie jest nieaktywne

Składnik: deficytowe i niedeficytowe Składnik jest deficytowy dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli odpowiadające mu ograniczenie jest aktywne W przeciwnym przypadku składnik jest niedeficytowy Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń  graniczne dopuszczalne zwiększenie zasobu składnika deficytowego pozwalające poprawić aktualne rozwiązanie optymalne (nie zmieniające aktualnego rozwiązania bazowego)  granicznie dopuszczalne zmniejszenie zasobu składnika niedeficytowego nie zmieniające aktualnego rozwiązania optymalnego

Zwiększanie zasobów deficytowych 1 2 3 4 5 6

Zmniejszanie zasobów niedeficytowych 4 3 1 5 2 6

Maksymalna zmiana zasobu składnika Podsumowanie Składnik Rodzaj składnika Maksymalna zmiana zasobu składnika Wartość zmieniona – wartość aktualna Deficytowy 7 – 6 = 1 12 – 8 = 4 13 – 12 2 3 = +1 3 1 2 3 4 Niedeficytowy Maksymalna zmiana dochodu 18 – 12 2 3 = +5 1 3 - 2 – 1 = -3 1 1 3 - 2 = - 2 3 12 2 3 - 12 2 3 = 0

Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika Drugie zadanie analizy wrażliwości Zasoby którego ze składników deficytowych należałoby powiększać w pierwszej kolejności Charakterystyka cenności dodatkowej jednostki zasobu składnika deficytowego Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika Składnik Rodzaj składnika 1 Deficytowy 1 = 1 3 ÷ 1 = 1 3 2 Deficytowy 2 = 5 1 3 ÷ 4 = 4 3 3 Niedeficytowy 3 = 0 4 Niedeficytowy 4 = 0

Trzecie zadanie analizy wrażliwości Wpływ wartości współczynników f.c. na rozwiązanie optymalne Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany współczynników funkcji celu  przedział zmian (zmniejszenia lub zwiększenia) danego współczynnika funkcji celu, dla którego nie dochodzi do zmiany rozwiązania optymalnego?  o ile należy zmienić dany współczynnik funkcji celu, aby uczynić określony składnik niedeficytowy deficytowym i na odwrót?

Pierwszy aspekt – c1 = var, c2 = const = 2; c1 = const = 3, c2 = var 4 1 3 5 2 6

Elementy algorytmu simpleksowego Postać standardowa przykładu Początkowa tablica simpleksowa

Rozpoczęcie obliczeń

Elementy jednego kroku algorytmu simpleksowego Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy Wybór zmiennej usuwanej z bazy Przekształcenie centralne Gaussa – Jordana

Drugie rozwiązanie

Tablica optymalnego rozwiązania

Tablica optymalnego rozwiązania pozwala uzyskać informacje o:  rozwiązaniu optymalnym  statusie zasobów poszczególnych składników  cenności zasobów każdego z składników  wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany wielkości zasobów  wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu

Podsumowanie rozwiązywania - Tablice kolejnych kroków

Podsumowanie rozwiązywania - Interpretacja geometryczna kolejnych kroków 1 2 3 4 5 6

Rozwiązanie optymalne

Zmienna uzupełniająca Status zasobów poszczególnych składników Wartości zmiennych uzupełniających związanych z poszczególnymi składnikami Status zasobów składnika Zmienna uzupełniająca Składnik 1 Surowiec A Deficytowy 2 Surowiec B Deficytowy 3 Różnica popytu I-E Niedeficytowy 4 Popyt I Niedeficytowy

Rozwiązanie optymalne - status zasobów składników 4 3 1 5 2 6

Cenność zasobów poszczególnych składników Wartości współczynników w wierszu funkcji celu tablicy obliczeniowej metody simpleksowej odpowiadające zmiennym uzupełniającym związanym z danym składnikiem A B I-E I

Warunki dodatniości rozwiązania: Maksymalne zmiany zasobów poszczególnych składników Na przykładzie - maksymalna zmiana zasobu surowca A (składnik deficytowy) Zmienna uzupełniająca związana z danym składnikiem – surowiec A – zmienna uzupełniająca x3 Zmiana funkcji celu: Warunki dodatniości rozwiązania:

Przypadki: dowolne dowolne dowolne dowolne

Łącznie: 1 2 3 4 5 6

Warunki optymalności rozwiązania: Maksymalne zmiany współczynników funkcji celu Przypadki: zmienna bazowa, zmienna niebazowa Na przykładzie - maksymalna zmiana współczynnika związanego ze zmienną x1 Warunki optymalności rozwiązania:

Przypadki: dowolne dowolne

Łącznie: 4 3 1 5 2 6