Iteracyjne wyrównywanie sieci geodezyjnych Współrzędne przybliżone

Obliczenie dokładnych współrzędnych opiera się na następujących założeniach: Musi być zdefiniowany układ współrzędnych: w sieciach niwelacyjnych – co najmniej 1 reper w sieciach płaskich - co najmniej 2 punkty znane w sieciach przestrzennych – co najmniej 3 punkty. przy pomiarach GPS – określone odwzorowanie. Pomiary terenowe muszą być przetworzone: należy uwzględnić wszystkie niezbędne poprawki (temperatura, ciśnienie, odwzorowanie, stałe reflektora, przejście z 3D na 2D, itd.)

Zależnie od rodzaju sieci, stosuje się różne sposoby obliczenia współrzędnych przybliżonych szukanych punktów: x Niwelacja Dh Rp

Sieci kątowe: Wcięcie wstecz Wcięcie w przód

Sieci kątowo-liniowe: Wcięcie liniowe Wcięcie kątowo-liniowe

Sieci liniowe: 1 A 2 B 4 3 Wcięcia liniowe i transformacja współrzędnych

Problem wyrównania iteracyjnego może pojawić się w zadaniu, w którym funkcja wiążąca spostrzeżenia i niewiadome nie jest liniowa, a przybliżone wartości niewiadomych wyznaczono z niewystarczającą dokładnością. Nie dotyczy to sieci niwelacyjnych ponieważ tam funkcje w równaniach obserwacyjnych są zawsze liniowe.

Dla wyrównania metodą najmniejszych kwadratów konieczne są liniowe funkcje niewiadomych w równaniach poprawek: L+v = f(x) W celu doprowadzenia funkcji do postaci liniowej rozwija się ją w szereg Taylora:

Y = f(X) f(X) f(X0+x) x X0 X0 + x X Rysunek pokazuje różnicę między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni.

Rysunek pokazuje różnice między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni. W celu zmniejszenia tych różnic postępowanie iteracyjne polega na zmianie wartości przybliżonej niewiadomych, w taki sposób, że wynik poprzedniego wyrównania jest traktowany jako wartość przybliżona dla nowej iteracji: Iteracja: X0 → X1 = X0 + x1 Iteracja: X01= X1 → X2 = X1 + x2 itd..

Kryterium przerwania: Opisana procedura w postaci programu komputerowego wymaga zastosowania jakiegoś kryterium przerwania obliczeń – w przeciwnym wypadku będzie działać w nieskończoność. Jedną z możliwości jest że norma wektora parametrów x ma być mniejsza od zadanej wartości granicznej εx np. εx =10-3 Drugie kryterium można zbudować w oparciu o wzór:

Przykład: Współrzędne przybliżone: P0 150.00

Funkcja zależności azymutu od współrzędnych x B A

Funkcja po rozwinięciu w szereg Taylora

Równanie kąta x L aL aP b S P

Równanie błędów dla kąta

Przykład (1400,1500) L b S = 80,3892 (1000,1000) P (600,1600)

Wcięcie wstecz A b1 B b2 P C b3 D

Zapis macierzowy zadania:

Współczynniki równań błędów: kąt obl. a b l 1 47.25630 572.46 124.76 38302.0 2 34.74563 -185.73 456.92 9895.7 3 59.01091 49.30 744.05 33015.9 Równania normalne: 364636.6 23238.02 Dx 21716118 777951.3 Dy 33865581 N X ATL

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń: Rozwiązanie: X V 56.9 -516 41.8 -1348 4986.373 914 2918320 Kryteria przerwania: 1 71 2 2652099415

Druga iteracja. P 206.89 191.83 kąt obl. a b l 1 51.35616 669.94 152.15 -2696.6 2 35.50365 -255.07 500.72 2315.5 3 62.11001 -59.56 747.88 2024.9 Równania normalne: 517427.7 -70331 Dx -2517778 833194.6 Dy 2263512 N X ATL

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń: Rozwiązanie: X V -4.5 4.0 2.3 12.8 26.1 -9.4 268.7 Kryteria przerwania: 1 5 2 16733143.2

Trzecia iteracja: Kat obl. a b l 1 51.08629 668.44 144.10 2.1 2   X Y P 202.341 194.165 Trzecia iteracja: Kat obl. a b l 1 51.08629 668.44 144.10 2.1 2 35.73567 -249.62 504.39 -4.7 3 62.31172 -56.51 755.16 7.8 Równania normalne: 512315.6 -72257.7 Dx 2136.16 845440.7 Dy 3822.225 N X ATL

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń: Rozwiązanie: X V 0.0049 1.9 6.0 0.000048 -4.3 58.1 Kryteria przerwania: 1 0.0069 2 29.3

Czwarta iteracja: X Y P 202.346 194.170 kąt obl. a b l 1 51.08669   X Y P 202.346 194.170 Czwarta iteracja: kąt obl. a b l 1 51.08669 668.45 144.10 -1.9 2 35.73580 -249.63 504.40 -6.0 3 62.31206 -56.52 755.17 4.4 Równania normalne: 512335 -72271.9 Dx -20.963 845465.9 Dy 22.558 N X ATL

Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń: Rozwiązanie: X V -0.000038 1.9 0.000023 6.0 1.965E-09 -4.4 58.97 Kryteria przerwania: 1 0.000044 2 0.0013

Wyrównane współrzędne: 202.35 194.17 V 1 1.9 2 6.0 3 -4.3 L + v Kąt obl. 1 51.08669 2 35.73580 3 62.31207 62.31206

Ocena dokładności: [vv]= 58.08 m0= 7.6 cc mx= 0.011 m my= 0.008