Ekonometria wykład w roku 2009/2010 W. Borucki Cz. 1/1

Plan wykładu cz. I (7 godz.) Modelowanie problemów decyzyjnych Programowanie liniowe Zadania programowania liniowego i ich własności Metoda geometryczna Metoda simplex Dualność Zadania transportowe Analiza wrażliwości Modele Leontiefa Układ równań bilansowych Interpretacja

Plan wykładu cz. II (7 godz.) Modelowanie zjawisk (zależności) gospodarczych Zmienne objaśniane i objaśniające Hipotezy o zależnościach wzajemnych Metoda najmniejszych kwadratów Modele ekonometryczne z jedną i wieloma zmiennymi objaśniającymi, liniowe i nieliniowe, Wykorzystanie modeli ekonometrycznych: Prognozowanie Symulacja (?)

Bibliografia Red. E. Ignasiak, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 2001 Z. Czerwiński, Matematyka na usługach ekonomii, PWN, Warszawa, 1972 H. Wagner, Badania operacyjne, PWE, Warszawa, 1980 B. Guzik, W. Sikora, Elementy Badań operacyjnych, PMD, AE w Poznaniu, Poznań 1994 A. Kaufman, Badania operacyjne na co dzień, PWN, Warszawa, 1968 Red. B. Guzik, Ekonometria i Badania operacyjne, zagadnienia podstawowe, AE, Poznań, 2002

Plan wykładu cz. III (1 godz Plan wykładu cz. III (1 godz.) Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych wiadomości) Przedstawić podstawowe elementy problemu decyzyjnego. Jakie warunki powinny spełniać kryteria wyboru decyzji? Podać przykłady warunków przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i co to są decyzje dopuszczalne? Przedstawić problem wyboru planu produkcyjnego. Przedstawić problem rozkroju. Przedstawić problem diety. Przedstawić własności zbiorów rozwiązań dopuszczalnych liniowych zadań decyzyjnych (LZD) . Kiedy LZD ma wiele rozwiązań optymalnych, a kiedy nie ma ich wcale? Jakie są podstawowe elementy i czynności metody geometrycznej? Z jakich podstawowych etapów składa się metoda simplex i o co w nich chodzi? Co trzeba zrobić by zmienić rozwiązanie bazowe LZD? Jakie czynności w metodzie simplex gwarantują dopuszczalność rozwiązań LZD. Przedstawić dwa główne problemy analizy wrażliwości rozwiązania LZD i odpowiadające im pytania. Zdefiniować zadania dualne do liniowych zadań decyzyjnych. Jak można interpretować zmienne dualne? Omówić zamknięte zadanie transportowe (ZZT). Przedstawić przykłady otwartych zadań transportowych. Omówić model Leontief’a dla gospodarki dwusektorowej. Jak należy interpretować współczynniki odwróconej macierzy Leontief’a ? Jak można wyznaczyć produkt globalny dla gospodarki n-sektorowej?

Plan wykładu cz. III (1 godz. ) c. d Plan wykładu cz. III (1 godz.) c.d. Zestaw pytań, na które student i/lub studentka powinni znać odpowiedź – krótkie omówienie (przypomnienie podstawowych wiadomości) Co to jest ekonometria w wąskim znaczeniu? Wyjaśnić pojęcia zmienna objaśniana i zmienne objaśniające Objaśnić istotę metody najmniejszych kwadratów (MNK) Opisać proces szacowania parametrów liniowego modelu ekonometrycznego z jedną zmienną objaśniającą Jakie znamy wskaźniki oceny jakości oszacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych? Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego wykładniczego z jedną zmienną objaśniającą? Jak szacujemy parametry modelu ekonometrycznego potęgowego z jedną zmienną objaśniającą? Jakie własności posiada funkcja Tornquista I rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy jej parametry? Jakie własności posiada funkcja Tornquista II rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy jej parametry? Jakie własności posiada funkcja Tornquista III rodzaju i do opisu jakich zagadnień jej się używa? Jak szacujemy jej parametry? Jaka funkcja posiada stałą elastyczność, a jaka stałą stopę wzrostu? Odpowiedź uzasadnić. Podać funkcję używane najczęściej w analizie kosztów. Jaka jest interpretacja ekonomiczna ich współczynników? Jak można oszacować parametry funkcji wielomianowych? Jak można uogólnić MNK dla modeli liniowych z jedną zmienną objaśniającą na model z wieloma zmiennymi objaśniającymi? Co to są standardowe błędy szacunku parametrów modeli ekonometrycznych Omówić zasady szacowania parametrów funkcji Cobba Douglasa, jej zastosowanie i własności. Co to jest prognoza a co predykcja? Co możemy powiedzieć o zaufaniu do prognoz? Co to jest współliniowość zmiennych i jakie są tego konsekwencje dla budowy modelu ekonometrycznego? Do czego służy symulacja i co trzeba uczynić by efekty były wiarygodne? Jaka jest procedura budowy modelu ekonometrycznego

Modelowanie problemów decyzyjnych Zasady Kartezjusza Sprawdzić każde założenie unikając „oczywistości” Podzielić problem na części tak by każdą z nich z osobna można było „ogarnąć rozumem” Uporządkować problem od najprostszych do najbardziej skomplikowanych i sukcesywnie je rozwiązywać Zintegrować problemy cząstkowe w całość nie pozostawiając niczego „w zapomnienie” Podejście systemowe System Całość złożona z ograniczonej liczby elementów powiązanych ze sobą relacjami i przyjmujących rozmaite stany, dokonująca z różną intensywnością transformacji strumieni zasilania (wejście w wyjście) podporządkowanych przyjętym celom Analiza Rozważyć system w całości by nie zaniedbać interakcji pomiędzy jego elementami Zintegrować jego przebieg w czasie, Nie zapomnieć o jego związkach z otoczeniem Wziąć pod uwagę cel dla którego został zbudowany i ograniczyć się do elementów najważniejszych Zasady racjonalnego gospodarowania Maksymalizacja efektu przy wykorzystaniu założonych zasobów Minimalizacja nakładów przy osiągnięciu założonego efektu

Modelowanie problemów decyzyjnych Decyzja – akt wyboru, oceny, sąd, … Jakie mogą być decyzje? Cechy decyzji ekonomicznych. Proces decyzyjny – ciąg działań prowadzących do wyboru decyzji. Zachowania racjonalne – maksymalizacja użyteczności czy racjonalność ograniczona? Co to jest decyzja dobra?, Proces podejmowania decyzji Formułowanie problemu Budowa modelu matematycznego lub logicznego Przedmiot decyzji – zmienne decyzyjne Uwarunkowania – warunki ograniczające Kryteria oceny – funkcje celu Pozyskanie i przetworzenie informacji dla ustalenia parametrów modelu Wykonanie niezbędnych obliczeń w celu wskazania decyzji najlepszej - optymalnej (algorytm rozwiązywania zadania) Analiza jakości (wrażliwości) uzyskanej decyzji – analiza post-optymalizacyjna Sprawdzenie adekwatności rozwiązania Wdrożenie decyzji

Formułowanie zadań Sformułować problem (literacko, ale jednoznacznie) Co musi w nim być? Przedmiot decyzji Warunki ograniczające Kryterium oceny jakości decyzji Jak przetłumaczyć problem decyzyjny na język matematyki? – Odp. Formułując zadanie optymalizacyjne (przekształcenie wzajemnie jednoznaczne) wykorzystując Zmienne decyzyjne (przedmiot decyzji) Równania i nierówności (warunki ograniczające) → rozwiązania dopuszczalne Wskaźnik(i) jakości (kryterium, funkcja celu)→ rozwiązanie optymalne Bywają sformułowania równoważne (te same zbiory rozwiązań dopuszczalnych i to samo rozwiązanie optymalne)

Zadanie 1 Zakład przerobu ropy naftowej uzyskuje 30 tys. ton półproduktu A i 30 tys. Ton półproduktu B. W wyniku mieszania tych półproduktów w odpowiednich proporcjach otrzymuje trzy rodzaje benzyn: I - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 1:2, II - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 1:1, III - przy proporcjach półproduktu A do półproduktu B jak 2:1, Hurtowa cena sprzedaży benzyny I wynosi 6.000 zł, II – 7000,- zł a III – 9000,- zł. Jaki rodzaj benzyny i w jakich ilościach powinien zakład produkować ażeby zmaksymalizować przychód

Zadanie 2 Hodowca posiadający stajnię na 10 koni kupuje młode zwierzęta w wieku 2 lat płacąc po 2000 zł za sztukę. Może je sprzedać po dwóch latach hodowania i układania średnio po około 25 tys. złotych, a po roku za około 10 tys. zł. Średnio koń w pierwszym roku zjada rocznie 1 tonę siana i 2 tony owsa, a w roku II 2 tony siana i 1 tonę owsa. Produkty te można kupić na rynku odpowiednio po: 2000 zł za 1 tonę owsa, 1000 zł za 1 tonę siana. Godzina pracy instruktora układającego konie kosztuje 30 zł, a każdemu koniowi w wieku 2 lat trzeba poświęcić dziennie 30 minut, a w wieku 3 lat 45 minut. Instruktor nie może dziennie pracować więcej aniżeli 9 godzin. Ile koni i w jakim wieku powinien rolnik hodować, ażeby zmaksymalizować swój zysk w okresie dwuletnim? Zapisać w postaci zadania decyzyjnego. Jakie masz problemy i wątpliwości?

Zadanie 3 Zakład może wyprodukować dziennie 9 sztuk wyrobu A albo 12 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z jednego podstawowego surowca, którego zużycie dzienne jest ograniczone i wynosi 14 jednostek. Zużycie tego surowca do produkcji wyrobu A wynosi 1 jednostkę, a do wyrobu B dwie jednostki. Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 1, a z jednostki wyrobu B wynosi 4? Czy mieć będzie dla tego planu znaczenie, że ilość wyrobów A nie może przekraczać 4/5 ilości wyrobów B? Zapisać problem w postaci zadania PL.

Zadanie 4

Zadanie 5 Tartak produkuje elementy tzw. programu ogrodowego. Jednym z produktów jest huśtawka ogrodowa, która składa się z czterech belek o długości 3 m i jednej belki o długości 2 m. Elementy te powstają z cięcia belek o długości 7 m, którymi tartak dysponuje w ilości 100 sztuk i 6 m, których tartak posiada 200 sztuk. W jaki sposób należy pociąć posiadane przez tartak belki, ażeby uzyskać maksymalną liczbę kompletów belek na huśtawki.

Zadania 6 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. Do produkcji używa się m.in. trzech środków produkcji, których dostawy wymagają zawarcia umów długoterminowych, stąd uważa się je za limitowane. Są to: komponenty K1, K2, i K3, których zawarte w kontraktach roczne dostawy wynoszą odpowiednio: 2200, 1500 i 2000 jednostek. Do produkcji wyrobu A zużywa się 4 jednostki komponentu K1, jedną jednostkę komponentu K2, i 2 jednostki komponentu K3. Natomiast do produkcji wyrobu B zużywa się 2 jednostki komponentu K1 i 4 jednostki komponentu K3. Z analizy sprzedaży wynika, że zobowiązania przedsiębiorstwa dotyczące sprzedaży wyrobu A, wynoszą co najmniej 800 jednostek. Natomiast w przypadku wyrobu B oczekuje się sprzedaży na poziomie nie wyższym aniżeli 400 jednostek. Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio 30 000 zł i 40 000 zł. Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód. Wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący zysk gdy jednostkowe koszty produkcji wynoszą odpowiednio 15000 zł i 25000 zł. Jak mógłby się ten plan/ te plany zmienić gdyby możliwe było zniesienie limitu na zakup komponentu K1? Ze względu na szybko rosnący popyt na wyrób A i jego niedobory na rynku (produkt ma znaczenie strategiczne) możliwy jest wzrost jego ceny hurtowej o około 40%. Jakie to niesie konsekwencje?

Zadanie 7

Zadanie 8 Stosując metodę geometryczną rozwiąż zadanie

Zadanie 9 Zakład może wyprodukować dziennie 12 sztuk wyrobu A albo 18 sztuk wyrobu B. Wyroby te produkowane są z jednego podstawowego surowca, którego zużycie dzienne jest ograniczone i wynosi 36 jednostki. Zużycie tego surowca do produkcji wyrobu A wynosi 2 jednostki, a do produkcji wyrobu B 3 jednostki. Jaki powinien być optymalny dzienny plan produkcji jeżeli zysk jednostkowy z produkcji wyrobu A wynosi 4, a z jednostki wyrobu B wynosi 5?

Metoda geometryczna Przykład liczbowy Rozwiązanie przykładu Dane niech będzie liniowe zadanie decyzyjne

Interpretacja geometryczna

Metoda geometryczna – algorytm ( ZPL z dwiema zmiennymi decyzyjnymi) Wykreśl układ współrzędnych dla przestrzeni dwuwymiarowej (R2) Dla osi układu współrzędnych przyjmij odpowiednią skalę, tak by rysunek mógł być czytelny (w tym celu ustal wartości maksymalne jakie mogą przyjmować poszczególne zmienne decyzyjne i zaznacz te wartości na odpowiednich osiach) Kolejno, dla każdego warunku ograniczającego zaznacz tę część przestrzeni R2, która spełnia nierówność lub równość (półpłaszczyzna lub prosta) Część wspólna (iloczyn zbiorów) wszystkich półpłaszczyzn i/lub prostych wskaże zbiór rozwiązań dopuszczalnych Narysuj dowolną izokwantę dla tej funkcji celu. Wykreśl wektor (gradient) prostopadły do tej izokwanty Przesuń izokwantę w kierunku wskazanym przez gradient, w taki sposób ażeby miała co najmniej jeden punkt wspólny ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (aby jej położenie wskazywało na wierzchołek lub krawędź zbioru rozwiązań dopuszczalnych), Współrzędne wierzchołka wskażą wartości zmiennych decyzyjnych rozwiązania optymalnego

Programowanie liniowe Zadania Programowania liniowego Zmienne decyzyjne – wymierne, warunki i kryterium – funkcjami liniowymi Własności zbioru decyzji dopuszczalnych (zb. wielościenny wypukły) Metody poszukiwania rozwiązania optymalnego (heurystyczna – przegląd wierzchołków, geometryczna – z wykorzystaniem izokwanty) Macierzowa postać zadania Zmienne decyzyjne – wektor o n składowych Funkcja celu – iloczyn skalarny Warunki ograniczające – układ nierówności (równań) Przekształcenia równoważne Wprowadzenie zmiennych swobodnych w warunkach z nierównością Zamiana znaku współczynników funkcji celu przy zmianie „kierunku” optymalizacji Równanie zastąpione dwiema nierównościami

Programowanie liniowe 2 Zadanie programowania liniowego (ZPL) jest matematycznym odwzorowaniem problemu decyzyjnego, w którym wszystkie warunki ograniczające i funkcja celu wyrażone są w postaci funkcji liniowych, a zmienne decyzyjne przyjmują wartości rzeczywiste (nieujemne) Decyzje wyrażone są w postaci wektorów (nieujemnych, n- wymiarowych, gdzie n jest liczbą zmiennych decyzyjnych), których składowe odpowiadają zmiennym decyzyjnym Decyzję nazywamy dopuszczalną jeżeli spełnia wszystkie warunki ograniczające (łącznie z nieujemnością). Zbiór wszystkich decyzji dopuszczalnych (zbiór rozwiązań dopuszczalnych) zadania programowania liniowego jest zbiorem wielościennym wypukłym. Decyzją optymalną jest ta decyzja dopuszczalna, dla której wartość funkcji celu przyjmuje wartość największą (lub odpowiednio najmniejszą) Są trzy możliwości: Nie istnieje żadne rozwiązanie dopuszczalne (zadanie jest sprzeczne) Nie istnieje skończone rozwiązanie optymalne (zadanie nie jest dobrze postawione) Istnieje skończone rozwiązanie optymalne (jedno lub wiele) Jeśli istnieje skończone rozwiązanie optymalne ZPL, to znajduje się ono w jednym z wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych (wielościennego i wypukłego) . Dla jego wyznaczenia można przejrzeć zbiór rozwiązań odpowiadający wszystkim wierzchołkom zbioru rozwiązań dopuszczalnych (przegląd zupełny) lub dokonać przeglądu ukierunkowanego (wykorzystującego właściwości ZPL) . Przykładem może być metoda simpleks lub dla zadań z dwiema zmiennymi decyzyjnymi – metoda geometryczna.

Metoda simplex –metoda ukierunkowanego przeglądu dopuszczalnych rozwiązań bazowych Schemat: Generujemy dopuszczalne (nieujemne) rozwiązanie bazowe (początkowe) Sprawdzamy optymalność otrzymanego rozwiązania Jeżeli nie jest optymalne, to generujemy nowe dopuszczalne rozwiązanie bazowe nie gorsze od otrzymanego poprzednio i idziemy do punktu sprawdzenia optymalności ptrzymanego rozwiązania Jeżeli tak, to koniec obliczeń, albowiem nie ma już rozwiązania lepszego !!! Ostatnio otrzymane rozwiązanie jest optymalne.

Metoda simplex – podstawowe problemy Jak wygenerować rozwiązanie początkowe? Jak sprawdzić optymalność rozwiązania? Jak wygenerować nowe (nie gorsze) rozwiązanie bazowe?