Przekształcenie Laplace’a Pierre Simon de Laplace Oliver Heaviside Definicja przekształcenia Laplace’a Obszar zbieżności dla przekształcenia Laplace’a Przykłady transformat Laplace’a Właściwości przekształcenia Laplace’a Różniczkowanie w czasie Warunek i wartość początkowa Podsumowanie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Pierre Simone de LAPLACE (1749 - †1827) Laplace was a mathematician and astronomer. Laplace initially made an impact by solving a complex problem of mutual gravitation that had eluded both Euler and Lagrange. Laplace was among the most influential scientists of his time and was called the Newton of France for his study of and contributions to the understanding of the stability of the solar system. Laplace generalized the laws of mechanics for their application to the motion and properties of the heavenly bodies. He is also famous for his great treatises entitled Mécanique céleste and Théorie analytique des probabilités. They were advanced in large part by the mathematical techniques that Laplace developed; most notably among those techniques are generating functions, differential operators, and definite integrals. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Oliver HEAVISIDE (1850 - †1925) Oliver Heaviside, English mathematical physicist and electrical engineer, made important contributions to electromagnetic theory and measurement and anticipated several advanced developments in mathematics and electrical engineering. Heaviside had a brief career as a telegrapher until growing deafness forced him to retire. He then conducted private electrical research in a state of near poverty. His views on using inductance coils for improving the performance of long-distance cables ultimately proved correct. In 1901 he predicted the existence of the ionosophere. Heaviside formulated a basis for operational calculus converting linear differential equations into algebraic ones the solution of which can be accomplished by relatively simple methods. The Royal Society refused to publish his paper and Lord Rayleigh once wrote to him „In the form, as it is, I am afraid that your paper may not be of use to anyone”. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Definicja przekształcenia Laplace’a Przekształcenie Fouriera Przekształcenie Laplace’a „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Definicja przekształcenia Laplace’a Proste przekształcenie Laplace’a Odwrotne przekształcenie Laplace’a „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Obszar zbieżności dla przekształcenia Laplace’a Przekształcenie Fouriera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Obszar zbieżności dla przekształcenia Laplace’a Przekształcenie Laplace’a „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Porównanie obszarów zbieżności L  > a a > 0 a < 0 F  = 0 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Porównanie obszarów zbieżności L  > a a > 0 a < 0 F  = 0 Wprowadzenie czynnika uzbieżniającego e-t rozszerza klasę transformowalnych sygnałów lub rozszerza obszar zbieżności (odciętą zbieżności). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Wykładnik wzrostu wykładniczego Sygnał x(t) jest rzędu wykładniczego, jeżeli: Sygnał rzędu wykładniczego rośnie wolniej od sygnału wykładniczego. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

L Odcięta zbieżności  > a a < 0 Wykładnik wzrostu wykładniczego  odcięta zbieżności całki Laplace’a. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transformata Laplace’a jako funkcja analityczna Funkcja C  f(s), s  C jest analityczna, jeżeli istnieje jej pochodna: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transformata Laplace’a jako funkcja analityczna Twierdzenie całkowe Cauchy’ego: Funkcja analityczna reprezentuje zachowawcze pole potencjału. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Transformata Laplace’a jako funkcja analityczna Wzór całkowy Cauchy’ego: Wartość funkcji analitycznej w punkcie s0  L może być wyznaczona, jeżeli znane są jej wartości na brzegu obszaru L. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Przykłady transformat Laplace’a „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Właściwości przekształcenia Laplace’a „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Różniczkowanie w czasie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Różniczkowanie w czasie Różniczkowanie w dziedzinie czasu jest najważniejszą właściwością przekształcenia Laplace’a, bowiem: pozwala rozwiązywać równania różniczkowe w sposób algebraiczny, pozwala w rozwiązaniu uwzględniać warunki początkowe w sposób automatyczny, pozwala zapomnieć o konieczności rozróżniania pomiędzy warunkami a wartościami początkowymi, dopuszcza skokowe (nieciągłe) zmiany wymuszeń. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Różniczkowanie w czasie (przekształcenie Fouriera) Przekształcenie Fouriera też pozwala na algebraiczny sposób rozwiązywania równań różniczkowych, ale: przy bardziej ograniczających założeniach jest mniej wygodne, gdyż kolejne pochodne to (j, - 2, -j 3, 4...) w przeciwieństwie do przekształcenia Laplace’a (s, s2, s3, s4, s5...). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Warunek i wartość początkowa x(t) t sygnał ciągły sygnał nieciągły x(0–) x(0+) x(0–) = x(0+) = x(0) x(0–) – warunek początkowy x(0+) – wartość początkowa „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Warunek początkowy (indukcyjność) Li(0–) = Li(0+) L źródło napięciowe Istnienie niezerowych warunków początkowych jest konsekwencją rozpływu prądów w obwodzie bezpośrednio przed chwilą komutacji (t = 0–), a więc zgromadzenia energii w indukcyjnościach (pojemnościach). Komutacja  jakakolwiek zmiana struktury układu w chwili t = 0. Wartości początkowe to wartości napięć i prądów w chwili bezpośrednio po komutacji t = 0+. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Warunek początkowy (pojemność) Cu(0–) = Cu(0+) źródło prądowe Istnienie niezerowych warunków początkowych jest konsekwencją rozpływu prądów w obwodzie bezpośrednio przed chwilą komutacji (t = 0–), a więc zgromadzenia energii w pojemnościach (indukcyjnościach). Komutacja  jakakolwiek zmiana struktury układu w chwili t = 0. Wartości początkowe to wartości napięć i prądów w chwili bezpośrednio po komutacji t = 0+. Cu(0–) = Cu(0+) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Przykład (metoda klasyczna) Li(0–) = Li(0+) = LI0 L R i(t) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Przykład (metoda operatorowa) Li(0–) = Li(0+) = LI0 L R i(t) U/R i(t) I0 t t = 0 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Podsumowanie Przekształcenie Laplace’a jest bardzo wygodnym narzędziem do rozwiązywania modeli stacjonarnych układów liniowych - zwyczajnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach, gdyż: - zamienia operację różniczkowania w czasie d/dt na operację mnożenia przez zmienną s, - dostarcza pełnego rozwiązania, obejmującego składową wymuszoną odpowiedzi (reakcja na wymuszenie) oraz składową swobodną odpowiedzi (reakcja na warunki początkowe. Przekształcenie Laplace’a istnieje dla szerszej klasy sygnałów w porównaniu do przekształcenia Fouriera. Transformaty Laplace’a są funkcjami analitycznymi (w sensie analizy funkcji zespolonych), a funkcjom tym towarzyszy potężny aparat narzędziowy. W zagadnieniach telekomunikacyjnych interesuje nas w większości przypadków składowa wymuszona, a to oznacza, że znacznie częściej stosujemy przekształcenie (szereg) Fouriera, pomijające składową swobodną, a dodatkowo dogodniejsze do interpretacji. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir