Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Gimnazjum i Liceum im. Michała Kosmowskiego w Trzemesznie ID grupy: 97/59_MF_G1 Opiekun: Aurelia Tycka-Liberkowska Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Konstrukcje cyrklem tp_004 Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

Zastosowanie „geometrii dynamicznej” cabrii II w dowodzeniu twierdzeń

Bibliografia: „Odkrywanie geometrii kół i elementy astronomii” -Bronisław Pabich Matematyka _ Nowa Era Zasoby internetu

Kąty wpisane oparte na przystających łukach są sobie równe.

Miara kąta środkowego opartego na danym łuku jest dwukrotnością miary kąta wpisanego, opartego na łuku o tej samej długości.

Kąty wpisane oparte na łukach uzupełniających się

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty

Kąt między styczną a cięciwą okręgu. Miara kąta zawartego pomiędzy styczną do okręgu, poprowadzoną przez wierzchołek trójkąta wpisanego w ten okrąg, a bokiem tego trójkąta jest równa mierze kąta wewnętrznego trójkąta, leżącego naprzeciw tego boku.

Konstrukcja stycznej do okręgu

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat wysokości opuszczonej z wierzchołka przy kącie prostym jest równy iloczynowi długości rzutów jego przyprostokątnych na przeciwprostokątną.

Kwadrat odległości dowolnego punktu okręgu od jego cięciwy jest równy iloczynowi jego odległości od stycznych do okręgu w punktach będących końcami wybranej cięciwy

Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie

Jak dzielą się środkowe w dowolnym trójkącie ?

Styczna do dwóch okręgów

Okręgi styczne zewnętrznie

Okręgi styczne wewnętrznie

Okręgi rozłączne wewnętrznie

Okręgi rozłączne zewnętrznie

Okręgi przecinające się

Znalezienie środka danego okręgu

Inwersja Inwersja – przekształcenie geometryczne, zdefiniowane względem okręgu o=(O, r), dla którego obrazem punktu A jest punkt A' taki, ze: A'€OA oraz OA×OA '=r2 Bezpośrednio z definicji wynika że: złożenie dwóch inwersji względem tego samego okręgu jest tożsamością, złożenie dwóch inwersji o rożnych promieniach, ale tym samym środku jest jednokładnością (wniosek: w większości przypadków można pominąć promień inwersji – stąd potocznie mówimy “weźmy inwersje wzglądem [punktu] X”), (*) OB'A' ~ OAB - obraz trójkąta OAB jest do niego podobny: kat AOB = kat A'OB' stosunek boków OA/OB = OB'/OA' (ponieważ OA⋅OA '=r2 =OB⋅OB' ) (tożsame z (*)) na czworokącie AA'BB' można opisać okrąg.

Inwersja

Przekształcenia, które nie zmieniają odległości między punktami. Izometrie Przekształcenia, które nie zmieniają odległości między punktami.

Translacja Translacją nazywamy przekształcenie o wektor, które każdemu punktowi P płaszczyzn przyporządkowuje taki punkt P’, że PP’=v

Symetria osiowa Symetrią osiowa względem prostej l nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem prostej l. Prostą l nazywamy wówczas osią symetrii.

Symetria środkowa Symetria środkową względem punktu O nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem punktu O

Punkt O nazywamy środkiem obrotu. Obrotem dookoła punktu O o kąt ά nazywamy przekształcenie, które każdemu punktowi P płaszczyzny przyporządkowuje punkt P’ taki, że: 1. Kąt POP’ ma miarę ά, 2. |OP| = |OP’| Punkt O nazywamy środkiem obrotu.

Zadanie maturalne