dr Małgorzata Radziukiewicz Trend wykładniczy dr Małgorzata Radziukiewicz

Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci: gdzie a>0 jest ustaloną liczbą

Funkcja wykładnicza Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca X: Rys.1a. Funkcja wykładnicza parametr α0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmie wartość zero α1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α1 – 1) 100%. Y α1>1 α1=1 α0 0<α1<1 X

Funkcja wykładnicza ● Większe od jedności wartości parametru α1 oznaczają wzrost wartości zmiennej objaśnianej Y np. gdy α1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15% ● Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α1 świadczą o spadku wartości zmiennej objaśnianej Y np. dla α1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%, zatem spadek

Model wykładniczy ● Model wykładniczy: ● Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony do postaci liniowej; ● Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; ● Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy: gdzie: logarytm naturalny, którego podstawa e=2.71828…

Trend wykładniczy ●Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t): ● parametr α0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym badanie (t=0) ● α1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α1 – 1) 100%.

▪ otrzymujemy wówczas: Trend wykładniczy ▪ model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie; ▪ otrzymujemy wówczas: ▪ przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, (nie została przekształcona zmienna t) a więc

▪ dane niezbędne do obliczeń: Trend wykładniczy ▪ dane niezbędne do obliczeń: X – macierz wartości zmiennej czasowej; - wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu

Trend wykładniczy ▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru:

Trend wykładniczy Mamy wówczas: Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6); Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej; Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie: czyli

Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Sposób obliczenia prognozy punktowej: stąd

Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):

Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Przykład 3. Wartość produkcji (Yt w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 kształtowała się następująco: a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu; b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003, 2004 i 2005; c) ocenić dokładność dokonanej predykcji. lata Produkcja w mld zł 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 4,5 3,5 4,1 5,0 7,6 11,0 16,1 15,5 21,0 26,4

Postać modelu trendu wykładniczego ●na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci: gdzie: t - zmienna czasowa (t=1,2,…10) ▪ Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez logarytmowanie:

Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego ▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru: lub ze wzorów:

Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego Tablica 1. Obliczenia pomocnicze lata Nakład (Y) ln Y t lnY· t t2 1993 4,5 1,504077 1 1994 3,5 1,252763 2 2,505526 4 1995 4,1 1,410987 3 4,232961 9 1996 5 1,609438 6,437752 16 1997 7,6 2,028148 10,14074 25 1998 11,0 2,397895 6 14,38737 36 1999 16,1 2,778819 7 19,45173 49 2000 15,5 2,740840 8 21,92672 64 2001 21,0 3,044522 27,40070 81 2002 26,4 3,273364 10 32,73364 100 ∑ 114,7 22,04085 55 140,7212 385

Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego

Weryfikacja modelu trendu wykładniczego Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej. Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco: Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe). Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie.

Postać modelu trendu wykładniczego ● otrzymamy wówczas: ▪ czyli funkcję wykładniczą postaci: Interpretacja: Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47 mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266; czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.

Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Sposób obliczenia prognozy punktowej: Stąd Produkcja w latach 2003 -2005 będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł .

Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y: oznaczenia: jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji prognozowanej zmiennej. Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:

Prognozy produkcji