FUNKCJE

Spis treści 1. Funkcja jako przyporządkowanie. 2. Jakie przyporządkowanie jest funkcją? 3. Sposoby przedstawiania funkcji. 4. Teoria zbiorów funkcji. 5. Monotoniczność funkcji. 6. Wykresy. 7. Funkcje określone na zbiorach skończonych. 8. Opisywanie własności funkcji. 9. Zastosowanie funkcji. 10. Zakończenie.

Funkcja jako przyporządkowanie. Jeśli chcesz przyswoić sobie istotę funkcji, jeśli wydaje Ci się ona nudna i niepotrzebna w życiu – pomożemy Ci. Postaramy się udowodnić, że funkcje mają szerokie zastosowanie w codzienności i wcale nie są trudne.

Na początku zastanówmy się, czym jest funkcja. Funkcja to przyporządkowanie, gdzie jednemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany inny, w zbiorze Y. Powrót

Jakie przyporządkowanie jest funkcją? Wcale nietrudno to stwierdzić, pamiętaj tylko tą definicję: JEŻELI DANE SĄ DWA ZBIORY X I Y I KAŻDEMU ELEMENTOWI ZE ZBIORU X JEST PRZYPORZĄDKOWANY DOKŁADNIE JEDEN ELEMENT ZE ZBIORU Y, TO PRZYPORZĄDKOWANIE JEST FUNKCJĄ.

Aby prześledzić funkcje i „niefunkcje”, przybliż sobie poniższe przykłady: Popatrz: Każdemu człowiekowi jest przyporządkowany dokładnie jeden nos – to jest funkcja.

Spójrz: Każde dziecko ma swoją szkołę, przy czym niektóre z nich chodzą do tych samych szkół – to także jest funkcja (zgodna z wcześniej przytoczoną definicją funkcji).

Czasem też mamy do czynienia z inną funkcją: Każdemu grzybowi jest przyporządkowany jeden koszyk, w tym wypadku ten sam.

To znów ludzie: Niektórzy mają jedno, a niektórzy wiele miejsc pracy, co zaznaczono w tym przyporządkowaniu – to przyporządkowanie nie jest funkcją. Powyższe przykłady można równie dobrze zamienić na liczby: Jeden człowiek może stać się jednostką czasu, a „nos” – wartością prędkości na fizycznym wykresie. Powrót

Sposoby przedstawiania funkcji: Za pomocą grafu, np.:

b) Za pomocą tabelki, np.: x 1 2 3 4 y 6 9 12

c) Za pomocą wykresu, np.:

d) Za pomocą wzoru, np.: y=3x e) Oraz opisu słownego, np.: Każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowana jest liczba 3 razy większa. Powrót

Teoria zbiorów funkcji Powrót

Monotoniczność funkcji. Funkcje mogą być rosnące i malejące lub stałe. Odróżniamy je m.in. Dzięki ich przebiegowi w układzie współrzędnych. Przypomnijmy sobie nazewnictwo ćwiartek układu współrzędnych:

Oto wzór ogólny funkcji liniowej, której wykres jest linią prostą: y=ax+b Przy czym b to punkt przecięcia wykresu z osią Y, a a to współczynnik kierunkowy funkcji. Od tego, czy współczynnik kierunkowy a jest dodatni, czy ujemny, zależy monotoniczność funkcji.

To nie jest trudne! Zobacz: A co, jeśli nie wiesz czy wykres jest funkcją, czy zwykłym przyporządkowaniem? To nie jest trudne! Zobacz: Dobra rada: Zawsze sprawdź, czy na danej współrzędnej X znajduje się tylko jeden punkt wykresu: Te wykresy są funkcjami. Na pokazanej linią przerywaną wartości X znajduje się dokładnie jeden punkt wykresu…

…a jeżeli odnajdziesz tam więcej punktów tak, jak na tych wykresach, możesz być pewien, że to nie funkcja

Funkcja rosnąca Jej wykres przechodzi przez I i III ćwiartkę układu współrzędnych – „kieruje się w górę”, przy czym a>0.

Funkcja malejąca Jej wykres przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych – „kieruje się w dół”, przy czym a<0.

Funkcja stała Wykres ma postać prostej równoległej do osi X, gdzie y ma ustaloną wartość, przy czym a=0. y może równać się np.: 3, -3, 0 itd. Powrót

Wykresy funkcji Oprócz znanej Ci funkcji liniowej istnieją też jeszcze inne wykresy, jak na przykład PARABOLA, HIPERBOLA i wiele innych, które będziesz omawiać w szkole ponadgimnazjalnej. Powrót

PARABOLA – wykres funkcji kwadratowej. Jeśli współczynnik kierunkowy a jest większy od 0, to parabola rozszerza się ku górze. Jeśli współczynnik kierunkowy a jest mniejszy od 0, to parabola rozszerza się ku dołowi. Powrót

HIPERBOLA – wykres funkcji odwrotnej. Hiperbola nigdy nie występuje w początku układu współrzędnych (stąd bezwzględny brak 0, jako wartości x lub y) i ma formę obrazu symetrycznego względem punktu (0,0) – początku układu współrzędnych. Powrót

Funkcje określone na zbiorach skończonych. Czasem zastanawiamy się, jak zaznaczyć wykres funkcji. Czy pozostawić je w postaci punktów?, jak daleko poprowadzić wykres? Dowiedzieć się tego możemy jedynie odczytując zbiory skończone, określające wygląd wykresu funkcji. Mogą mieć one wieloraki wygląd: 1) x Є R : wykres „ciągnij” prostą zgodnie z monotonicznością funkcji, bez ograniczeń 2) x Є N lub x Є C : wykres ma postać punktów oznaczających kolejne liczby całkowite lub naturalne 3) x Є C+ lub x Є C– : jeśli pojawia się znak + lub –, stosując się do niego, przeprowadzimy wykres. Jeżeli występuje adnotacja +, to wykres przechodzi tylko przez I i IV ćwiartkę, a w przypadku adnotacji –, przez II i III ćwiartkę. 4) W sytuacji, gdy ma określony przedział, np.: x Є (-∞, 3) lub x Є (3, ∞) prostą rysujemy w obrębie x-ów oznaczonych w przedziale od -∞ do 3 lub od 3 do nieskończoności, „kółeczko”, które kończy linię w sąsiedztwie liczby (np. 3), zostaje niezamazane. 5) Jeśli przedziały mają postać: x Є <-∞, 3> itd., to „kółeczka” przy liczbach zamalowujemy. 6) Gdy zaś mamy zbiór dziedziny, np.. D={1,2,3}, w zapisie x Є {1,2,3} na wykresie zaznaczamy tylko wymienione współrzędne punktów, nie łącząc ich liniami. Powrót

Opisywanie własności funkcji. To najważniejsze zadanie, jeśli chodzi o funkcje. Wymienia się z reguły kilka własności: Dziedzina – piszemy x Є R (x należy do liczb rzeczywistych) 2) Zw – zbiór wartości funkcji, piszemy analogicznie: y Є R Szukamy miejsca zerowego, czyli Xo. Do tego celu stosujemy wzór np. y=2x+3 Punkt przecięcia się wykresu z osią Y – to wspomniany już współczynnik b ze wzoru funkcji y=ax+b, np.: y=x-5 punkt przecięcia: y=(0,5) Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości: a) dodatnie b) ujemne Sprawdzamy to według wykresu. Miejscem rozgraniczającym wartości dodatnie i ujemne jest miejsce zerowe, np.: y=x-5 1. Rysujemy tabelkę i obliczamy wartości y (przynajmniej dwie) 6) Określamy monotoniczność funkcji. W tym przypadku jest to funkcja rosnąca. Dlatego y>0 dla x>5 y<0 dla x<5 Powrót

Zastosowanie praktyczne funkcji. Z funkcjami spotykamy się na co dzień. Z pewnością spotkałeś się z wykresami fizycznymi ruchu jednostajnego prostoliniowego. Ruch przyspieszony lub opóźniony występuje jako wykres funkcji liniowej. Takie wykresy obrazują często zależność drogi od czasu (s(t)) lub szybkości od czasu (v(t)). Możemy prześledzić za jego pomocą, jak zmienia się prędkość rowerzysty zjeżdżającego z wzniesienia. Każdej sekundzie przyporządkowana jest pewna prędkość, czy też przebyta droga. Ciekawe są też funkcje trygonometryczne, o wykresach sinusoidalnych. Specjalne obliczenia pozwolą nam obliczyć na przykład wysokość budynku, który oglądamy przez lornetkę przy znajomości kąta, pod jakim go widzimy. Wykorzystuje się do tego specjalne trójkąty. Dzięki funkcjom możemy obliczyć nacisk konstrukcji i w oparciu o normy wytrzymałościowe konstrukcji i charakterystykę klimatu wyliczyć odpowiednie nachylenie konstrukcji (na terenach z większym opadem śnieżnym dach musi być stromy).

Oprócz tego przyporządkowania zwane funkcjami spotykamy na co dzień. Chociażby oceny ze sprawdzianów. Każdy uczeń dostaje ocenę, tylko jedną (przyjmijmy, że wszyscy byli obecni i nikt nie dostał oceny za „ściągnie”), choć te same oceny często się powtarzają. Zilustruje to graf: Powrót

Jak widać, funkcje towarzyszą nam na codzień. Uważamy, że nie są trudne. Warto zagłębić się w ich świat i odkryć ich zastosowania. Wszystko, co z pozoru wydaje nam się nieważne, w przyszłości może okazać się bardzo potrzebne. W końcu matematyka jest logiczna, praktyczna, po prostu jest OK!

KONIEC

Adrian Janeczek Piotr Cyniak Kl. IIc Gimnazjum nr 1 w Koluszkach Autorzy: Adrian Janeczek Piotr Cyniak Kl. IIc Gimnazjum nr 1 w Koluszkach