EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMOICZNYCH METODA MNK dr Magdalena Homa

MODEL EKONOMETRYCZNY – pojęcie i istota Cechą ekonometrycznego modelu przyczynowo-skutkowego jest przedstawienie zależności zachodzącej między zjawiskiem objaśnianym i najważniejszymi zjawiskami objaśniającymi za pomocą równania zwanego równaniem regresji wielorakiej postaci: 𝑌 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑎 𝑜𝑏𝑗𝑎ś𝑛𝑖𝑎𝑛𝑎 =𝑓( 𝑋 1 , 𝑋 2 ,…, 𝑋 𝑘 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒 𝑜𝑏𝑗𝑎ś𝑛𝑖𝑎𝑗ą𝑐𝑒 , 𝜀 𝑠𝑘ł𝑎𝑑𝑛𝑖𝑘 𝑙𝑜𝑠𝑜𝑤𝑦 ) Równanie to ma konkretną postać matematyczną, w której pojedyncza zmienna, zwana zmienną objaśnianą przedstawiona jest jako funkcja deterministyczna najważniejszych (w świetle teorii ekonomicznej) zmiennych, zwanych zmiennymi objaśniającymi. Do takiego równania dodane jest także zaburzenie losowe zwane również składnikiem losowym lub błędem losowym. Jego celem jest przedstawienie sumarycznego oddziaływania na zmienną objaśnianą wszystkich innych czynników, pominiętych w równaniu.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Metodologia ekonometrii zaleca, aby w początkowym modelu znalazł się możliwie najszerszy zbiór zmiennych ekonomicznych, które mają wyjaśnić zachowanie się zmiennej objaśnianej. W kolejnych krokach poprawy modelu zbiór ten jest redukowany i jest to postępowanie zwane w ekonometrii „Od ogólnego do szczegółowego”.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Przez dobór zmiennych należy rozumieć merytoryczne propozycje zbioru zmiennych objaśniających, czyli listę tzw. „kandydatek” na zmienne. Przez wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego rozumieć należy taką selekcję (redukcję) zbioru złożonego z „kandydatek” aby w modelu pozostał najmniejszy zbiór zmiennych mających istotny wpływ na zmienną objaśnianą.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych JAK EFEKTYWNIE WYELIMINOWAĆ ze wstępnego zestawu zmiennych zmienne nie istotne? Do tego celu służą METODY WYBORU ZMIENNYCH do których zalicza się m.in: Krokową eliminację zmiennych nieistotnych (wg testu istotności) Metodę współczynników korelacji (stosujemy tylko w przypadku gdy nie można zastosować MNK) Kryterium Akaike’a (AIC)

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych MEOTDA 1. Krokowa eliminacja zmiennych nieistotnych. Metoda ta polega na eliminacji zmiennych nieistotnych zgodnie z wynikiem testu istotności parametrów t-studenta, który przeprowadza się wielokrotnie eliminując w każdym kroku jedną zmienną, otrzymując ostatecznie model ze wszystkimi zmiennymi istotnymi. W teście t-studenta istotności parametrów weryfikuje się hipotezę zerową postaci: 𝐻 0 : 𝛼 𝑖 =0, 𝑖=1,…,𝑘 przy alternatywie: 𝐻 1 : 𝛼 𝑖 ≠0, 𝑖=1,…,𝑘

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Sprawdzianem hipotezy jest następująca statystyka testowa: 𝑇= 𝛼 𝑖 𝑆 𝛼 𝑖 ~ 𝑡 𝑛−𝑘−1 gdzie 𝑘−𝑜𝑧𝑛𝑎𝑐𝑧𝑎 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏ę 𝑧𝑚𝑖𝑒𝑛𝑛𝑦𝑐ℎ 𝑤 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑢 Są podstawy do odrzucenia 𝐻 0 gdy 𝑇 > 𝑡 𝑛−𝑘−1 , co oznacza istotność parametru. Aby nie przeprowadzać „ręcznie” wielokrotnie testu wykorzystujemy opcję sekwencyjnej eliminacji zmiennych przy poziomie istotności 0,05.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych PRZYKŁAD: Krzywa Phillipsa to krzywa ilustrująca statystyczną zależność pomiędzy stopą bezrobocia a inflacją. Badania Phillipsa dotyczące gospodarki Wielkiej Brytanii wykazały dość silną zależność pomiędzy inflacją a bezrobociem i istnienie zaobserwowanej przez Philipsa na przestrzeni blisko 100 lat zależności sugerowało, że możliwe jest osiągnięcie niższego poziomu bezrobocia kosztem wyższej inflacji. Wielu ekonomistów wierzyło, że relacja ta ma charakter uniwersalny i jest rodzajem prawa ekonomicznego. Została ona jednak skrytykowana przez Friedmana i Phelpsa. W związku z tym podjęto próbę weryfikacji tej tezy i zaproponowano aby w modelu inflacji uwzględnić następujące zmienne:

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Zmienna objaśniana Zmienne objaśniające (5 kandydatek do modelu inflacji)

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Zastosowanie metody eliminacji sekwencyjnej oznacza zbudowanie modelu ze wszystkimi zmiennymi: =>

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Wynik estymacji metodą MNK:

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Zastosowanie metody eliminacji sekwencyjnej oznacza: =>

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Wynik eliminacji:

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych METODA 2: WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI Metoda ta oparta jest na idei: w modelu należy uwzględnić jako zmienne objaśniające wszystkie zmienne silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowane między sobą. W tym celu w metodzie tej należy w pierwszej kolejności ustalić tzw. wartość krytyczną współczynnika korelacji oznaczoną 𝑟 ∗ , którą wykorzystuje się do uznania korelacji za silną bądź słabą, a mianowicie 𝑟(X,Y)≤ 𝑟 ∗ oznacza słabą korelację między zmiennymi X i Y, natomiast 𝑟 X,Y > 𝑟 ∗ oznacza korelację silną

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Wartość krytyczna może być zadana przez badacza albo wyznaczona według jednego z następujących wzorów: 𝑟 ∗ = min 𝑖 max 𝑗 𝑟 𝑖𝑗 lub 𝑟 ∗ = 𝑡 𝑛−2 2 𝑛−2+ 𝑡 𝑛−2 2 . Pierwszy ze wzorów umożliwia wyznaczenie wartości krytycznej na podstawie macierzy korelacji zmiennych objaśniających, natomiast wzór drugi oparty jest na wartości teoretycznej t-studenta odczytanej z tablic.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Następnie przeprowadza się następujące etapy procedury: Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne 𝑋 𝑗 za słabo (nieistotnie) skorelowane ze zmienną objaśnianą 𝑌, czyli te dla których zachodzi nierówność: 𝑟( 𝑋 𝑗 ,𝑌) ≤𝑟 ∗ Spośród pozostałych potencjalnych zmiennych (czyli spełniających I) wybiera się jedną zmienną 𝑋 𝑊 , która jest najsilniej skorelowana ze zmienną objaśnianą, czyli dla której wartość współczynnika korelacji 𝑟( 𝑋 𝑊 ,𝑌) jest największa.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Ze zbioru pozostałych potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie te, które powielają informacje z wybraną zmienną 𝑋 𝑊 , a więc te dla których: 𝑟( 𝑋 𝑗 , 𝑋 𝑊 ) >𝑟 ∗ Postępowanie czyli etapy II-III kontynuuje się do momentu wyczerpania zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających, tzn. należy podjąć decyzję o każdej ze zmiennych kandydatek.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych PRZYKŁAD CD - Zastosowanie metody współczynników korelacji Wyznaczanie: 𝑟 ∗ = min 𝑖 max 𝑗 𝑟 𝑖𝑗 W tym celu należy wyznaczyć macierz korelacji (zrealizowane na przedmiocie SADE):

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Wynik: Zmienna objaśniana

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Wartość krytyczną wyznaczamy tylko na podstawie korelacji między zmiennymi objaśniającymi (czyli pomijamy korelacje dla zmiennej objaśnianej). W każdej kolumnie wskazujemy wartość największą co do modułu (wartości bezwzględnej).

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Największe wartości dla poszczególnych zmiennych objaśniających to: 𝑋 1 (bezrob) -> 0,4581 𝑋 2 (import) -> 0,9894 𝑋 3 (wydatki) -> 0,9258 𝑋 4 (produk) -> 0,9559 𝑋 5 (kredyt) -> 0,9559 Z wyznaczonych największych wartości współczynników korelacji (max⁡) należy wybrać min czyli wartość najmniejszą: 𝑟 ∗ = min 𝑖 max 𝑗 𝑟 𝑖𝑗 = min 𝑖 0,4581;0,9894;0,9258;0,9559;0,9559 =0,4581

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Wyznaczanie: 𝑟 ∗ = 𝑡 𝑛−2 2 𝑛−2+ 𝑡 𝑛−2 2 oznacza odczytanie z tablic t-studenta wartości krytycznej i podstawienie do wzoru. Jednak wartość tę można również odczytać z macierzy korelacji: W takim przypadku nie ma konieczności wyznaczania jej ze wzoru.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Po ustaleniu wartości krytycznej można przystąpić do zastosowania metody współczynników korelacji czyli przeprowadzamy poszczególne etapy procedury odwołując się do macierzy korelacji.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych W naszym przykładzie wszystkie wartości współczynników korelacji zmiennych objaśniających z Y (inflacja) są wyższe od wartości krytycznej zatem żadnej zmiennej nie eliminujemy w tym etapie. W tym etapie wybieramy zmienną najsilniej skorelowaną czyli o największym współczynniku jest to zmienna 𝑋 5 (kredyt) -> 𝑟( 𝑋 5 ,𝑌) =0,6829

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych III. Eliminujemy zmienne powielające informacje z wybraną zmienną 𝑋 5 (kredyt). Na podstawie współczynników korelacji wszystkich zmiennych objaśniających z wybraną zmienną kredyt należy zauważyć, że we wszystkich przypadkach współczynnik korelacji jest większy od wartości krytycznej czyli pozostałe zmienne należy wyeliminować.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych METODA 3 KRYTERIUM AKAIKE’A Kryterium informacyjne Akaike’a zdefiniowane jest następująco: Wartość współczynnika AIC jest zawsze podana wraz z wynikami estymacji parametrów modelu metodą MNK, co oznacza, że nie liczymy go ze wzoru. Zgodnie z tym kryterium włączenie kolejnej zmiennej jest celowe tylko jeśli AIC spada.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Zatem aby zgodnie z tym kryterium wskazać, które zmienne należy pozostawić w modelu należy rozważyć wszystkie możliwe ich kombinacje i jako najlepszy wybrać model z najniższą wartością AIC.

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych PRZYKŁAD CD W rozważanym przykładzie zaproponowano jako zmienne kandydatki do modelu inflacji 5 zmiennych. Wszystkie możliwe ich kombinacje to: Pięcioelementowe => takich kombinajcji jest 5 5 =1 czyli 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 4 , 𝑋 5 , czteroelementowe => takich kombinajcji jest 5 4 =5 czyli 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 4 , 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 5 , 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 4 , 𝑋 5 , 𝑋 1 , 𝑋 3 , 𝑋 4 , 𝑋 5 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 4 , 𝑋 5 trzyelementowe => takich kombinajcji jest 5 3 =10 czyli 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 4 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 5 , … itd

MODEL EKONOMETRYCZNY – wybór zmiennych Po wyznaczeniu wszystkich możliwych kombinacji należy oszacować metodą MNK parametry wszystkich zaproponowanych modeli i wybrać ten, w którym AIC jest najmniejszy. UWAGA: Ze względu na żmudność tej metody stosuje się ją bardzo rzadko jako metodę eliminacji zmiennej.