opracowanie: Ewa Miksa Własności trójkątów opracowanie: Ewa Miksa

Spis treści: Klasyfikacja trójkątów Pole trójkąta Konstrukcje trójkąta Suma kątów w trójkącie Kąt zewnętrzny trójkąta Okręgi wpisane i opisane na okręgu Twierdzenie Pitagorasa

Ze względu na długość boków trójkąty dzielimy na: równoboczne równoramienne różnoboczne

a a a Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równej miary. a a a Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa boki (ramiona) równej długości. ramię ramię podstawa Trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.

ostrokątne prostokątne rozwartokątne Ze względu na miary kątów trójkąty dzielimy na: ostrokątne prostokątne rozwartokątne

ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty. Boki przylegające do kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciw kąta prostego – przeciwprostokątną. przeciwprostokątna przyprostokątna przyprostokątna Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty.

Trójkąt równoramienny prostokątny Trójkąt równoramienny rozwartokątny Trójkąt równoramienny ostrokątny Trójkąt różnoboczny prostokątny Trójkąt różnoboczny rozwartokątny Trójkąt różnoboczny ostrokątny Trójkąt równoboczny – zawsze ostrokątny

Pole równoległoboku h a P = a · h

h a P = a · h

h a P = a · h

h a P = a · h

Pole trójkąta h a a · h P = 2

Konstrukcja trójkąta z : trzech odcinków; dwóch odcinków i kąta; odcinka i dwóch kątów;

Konstrukcja trójkąta z trzech odcinków: b c C b c a A B

Długości boków trójkąta mogą być różne, jednak nie mogą być zupełnie dowolne. Spróbuj zbudować trójkąt z odcinków o długościach: 8cm, 2cm, 3cm. Czy Ci się to udało ? Suma długości każdych dwóch odcinków musi być większa od długości trzeciego.

Nierówność trójkąta: a b a + b > c b + c > a a + c > b c

Konstrukcja trójkąta z dwóch odcinków i kąta b  C a  b A B

Konstrukcja trójkąta z dwóch odcinków i kąta jest wykonalna, gdy kąt ma miarę mniejszą od 180°.

Konstrukcja trójkąta z odcinka i dwóch kątów.   C   a B A

Konstrukcja jest wykonalna, gdy suma miar danych kątów jest mniejsza niż 180°.  

Czy pamiętasz, jaki związek zachodzi między miarami kątów trójkąta ? Suma miar kątów trójkąta wynosi 180°.

Kąt zewnętrzny trójkąta – to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta. Czy wiesz, jaki jest związek między kątem zewnętrznym, a kątami wewnętrznymi tego trójkąta?

 +  =  Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar kątów wewnętrznych, nie przyległych do tego kąta.

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

W trójkącie równobocznym symetralne boków i dwusieczne kątów pokrywają się. Dlatego środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Zależności pomiędzy promieniem r okręgu wpisanego, promieniem R okręgu opisanego a bokiem a trójkąta przedstawiają wzory: a3 a3 R = r = 6 3

Twierdzenie Pitagorasa P1 + P2 = P3 P 2 P 1 W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. P 3

Jeden z dowodów twierdzenia Pitagorasa : c a b a b a a P2 = b2 b P3 = c2 b P1 = a2 a b

Inna postać: a2 + b2 = c2 c a b Suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Zastosowania twierdzenia Pitagorasa: Przekątna kwadratu: a2 + a2 = d2 2a2 = d2 d = 2a2 d = a2 d a a

Wysokość trójkąta równobocznego: h2 + (½ a)2 = a2 h2 + ¼ a2 = a2 h2 = a2 – ¼ a2 h2 = ¾ a2 h = a a h ½ a ½ a a3 2

Zależności pomiędzy bokami w trójkątach o kątach: 30°, 60°, 90° oraz 45°, 45°, 90° 30° 2a 45° a2 a3 a 90° 45° 90° 60° a a