Zajęcia przygotowujące do matury rozszerzonej z matematyki Wzajemne położenie dwóch okręgów.

Wzajemne położenie dwóch okręgów. Niech dane będą dwa okręgi 𝑜 1 : 𝑆 1 , 𝑟 1 i 𝑜 2 : 𝑆 2 , 𝑟 2 , gdzie 𝑆 1 = 𝑎 1 , 𝑏 1 , 𝑆 2 =( 𝑎 2 , 𝑏 2 ) – środki tych okręgów , zaś 𝑟 1 , 𝑟 2 - promienie. Wówczas równania tych okręgów przedstawiają się wzorami: 𝒐 𝟏 : 𝒙− 𝒂 𝟏 𝟐 + 𝒚− 𝒃 𝟏 𝟐 = 𝒓 𝟏 𝟐 𝒐 𝟐 : 𝒙− 𝒂 𝟐 𝟐 + 𝒚− 𝒃 𝟐 𝟐 = 𝒓 𝟐 𝟐 Wzajemne położenie pary okręgów na płaszczyźnie zależy od dwóch wielkości: Sumy lub wartości bezwzględnej różnicy promieni obu okręgów: 𝑟 1 + 𝑟 2 lub 𝑟 1 − 𝑟 2 Odległości między środkami tych okręgów: 𝑆 1 𝑆 2 oraz wzajemnej relacji między tymi wielkościami.

Okręgi rozłączne 𝑆 1 𝑆 2 > 𝑟 1 + 𝑟 2 𝑆 1 𝑆 2 < 𝑟 1 − 𝑟 2 Rozłączne zewnętrznie 𝑆 1 𝑆 2 > 𝑟 1 + 𝑟 2 Rozłączne wewnętrznie 𝑆 1 𝑆 2 < 𝑟 1 − 𝑟 2 • 𝑆 1 𝑆 2 𝑟 2 𝑟 1 • 𝑆 1 𝑟 1 𝑆 2 𝑟 2

Okręgi styczne 𝑆 1 𝑆 2 = 𝑟 1 − 𝑟 2 𝑆 1 𝑆 2 = 𝑟 1 + 𝑟 2 Styczne wewnętrznie 𝑆 1 𝑆 2 = 𝑟 1 − 𝑟 2 Styczne zewnętrznie 𝑆 1 𝑆 2 = 𝑟 1 + 𝑟 2 • 𝑆 1 𝑆 2 𝑟 2 𝑟 1 • 𝑆 1 𝑟 1 𝑆 2 𝑟 2

Okręgi przecinające się w dwóch punktach 𝑟 1 − 𝑟 2 < 𝑆 1 𝑆 2 < 𝑟 1 + 𝑟 2 • 𝑆 1 𝑟 1 𝑆 2 𝑟 2 P Q

Metoda analityczna Rozwiązując problem wzajemnego położenia dwóch okręgów metodą analityczną, należy przeprowadzić dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań złożonego z równań obu okręgów: 𝑥− 𝑎 1 2 + 𝑦− 𝑏 1 2 = 𝑟 1 2 𝑥− 𝑎 2 2 + 𝑦− 𝑏 2 2 = 𝑟 2 2

Okręgi rozłączne Układ równań nie ma rozwiązania Układ równań wewnętrznie zewnętrznie Układ równań 𝑥− 𝑎 1 2 + 𝑦− 𝑏 1 2 = 𝑟 1 2 𝑥− 𝑎 2 2 + 𝑦− 𝑏 2 2 = 𝑟 2 2 nie ma rozwiązania Układ równań 𝑥− 𝑎 1 2 + 𝑦− 𝑏 1 2 = 𝑟 1 2 𝑥− 𝑎 2 2 + 𝑦− 𝑏 2 2 = 𝑟 2 2 nie ma rozwiązania

Okręgi styczne Układ równań ma jedno rozwiązanie 𝑥 0 , 𝑦 0 wewnętrznie zewnętrznie Układ równań 𝑥− 𝑎 1 2 + 𝑦− 𝑏 1 2 = 𝑟 1 2 𝑥− 𝑎 2 2 + 𝑦− 𝑏 2 2 = 𝑟 2 2 ma jedno rozwiązanie 𝑥 0 , 𝑦 0 Układ równań 𝑥− 𝑎 1 2 + 𝑦− 𝑏 1 2 = 𝑟 1 2 𝑥− 𝑎 2 2 + 𝑦− 𝑏 2 2 = 𝑟 2 2 ma jedno rozwiązanie 𝑥 0 , 𝑦 0

Okręgi przecinające się w dwóch punktach Układ równań 𝑥− 𝑎 1 2 + 𝑦− 𝑏 1 2 = 𝑟 1 2 𝑥− 𝑎 2 2 + 𝑦− 𝑏 2 2 = 𝑟 2 2 ma dwa rozwiązania: 𝑥 1 , 𝑦 1 i 𝑥 2 , 𝑦 2

Przykład 1 Określ wzajemne położenie okręgów o równaniach: 𝑥−1 2 + 𝑦−2 2 =4 oraz 𝑥−4 2 + 𝑦−2 2 = 1 4 Wyznaczamy współrzędne środków tych okręgów: 𝑆 1 = 1,2 , 𝑆 2 =(4,2) oraz długości ich promieni: 𝑟 1 =2 , 𝑟 2 = 1 2

Następnie wyznaczmy: 𝑆 1 𝑆 2 = 4−1 2 + 2−2 2 =3 oraz 𝑟 1 + 𝑟 2 =2 1 2 𝑟 1 − 𝑟 2 =1 1 2 Stąd 3 > 2 1 2 , czyli spełniony jest warunek 𝑆 1 𝑆 2 > 𝑟 1 + 𝑟 2 Zatem okręgi są rozłączne zewnętrznie.