Wytrzymałość materiałów

Prezentacja na temat: "Wytrzymałość materiałów"— Zapis prezentacji:

1 Wytrzymałość materiałów
(WM II – wykład 9)

2 SPRAWY ORGANIZACYJNE Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - II Prowadzący: dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG Wydział Mechaniczny PG Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM Konsultacje: Wtorek: ( ) Piątek:

3 TEMATY WYKŁADÓW: … (zbiór dodatkowy)
Powłoki grubościenne walcowe - Powłoka grubościenna walcowa (rura) - Zadanie Lame’go - Przypadki szczególne - Naprężenia w połączeniach wciskowych Powłoki grubościenne kuliste - Przykłady obliczeniowe Przykłady praktyczne W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA: prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego

4 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Istnieje wiele definicji powłok grubościennych Springer Handbook of Mechanical Engineering (2009): Powłoki grubościenne (w zastosowaniu do zbiorników ciśnieniowych) charakteryzują się grubością ścian większą, niż 0,1 średniego promienia ściany. W powłokach grubościennych poddanych ciśnieniu wewnętrznemu p1 oraz ciśnieniu zewnętrznemu p2 naprężenia obwodowe nie są rozłożone równomiernie na całej grubości powłoki. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

5 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
(28) Powłoka grubościenna walcowa (rura) – przypadek szczególny często spotykany w praktyce z z p2 p2 r2 p1 r1 y x p1 p1 p2 dx Siła powierzchniowa (ciśnienie) wewnętrzne p1 Siła powierzchniowa (ciśnienie) zewnętrzne p2 ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

6 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Zadanie Lame’go Gabriel Lamé (1795–1870) – francuski matematyk i inżynier. Przekrój w płaszczyźnie prostopadłej do osi x z r+dr t t r r d r+dr y Płaski stan naprężeń: Naprężenia normalne: promieniowe r i obwodowe t

7 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Naprężenia promieniowe r na powierzchni wewnętrznej wycinka, której promień wynosi r, dają siłę wypadkową skierowaną wzdłuż osi z: Naprężenia promieniowe r+dr na powierzchni zewnętrznej wycinka, której promień wynosi r+dr, dają siłę wypadkową skierowaną wzdłuż osi z: Z rzutowania na oś z sił wypadkowych naprężeń obwodowych t wynika zależność: ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

8 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Suma rzutów wszystkich sił na oś z daje równanie: Po przekształceniu i uproszczeniu otrzymujemy: (*) Płaski stan naprężeń: naprężenia normalne r, t (28) Odkształcenia promieniowe i obwodowe wynoszą odpowiednio: © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

9 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Po przekształceniu otrzymujemy składowe stanu naprężeń: Oznaczmy przez u zmianę długości promienia. Stąd, odkształcenie promieniowe: a odkształcenie obwodowe : Zmiana długości obwodu w wyniku zmiany promienia o wartość u ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

10 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
A zatem, w przypadku rur grubościennych (inaczej, niż dla rur cienkościennych). Po wstawieniu do równań opisujących naprężenia promieniowe i obwodowe Pierwsze równanie różniczkujemy względem r, tzn. Po wstawieniu 3-ch powyższych równań do równania (*), tzn. © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

11 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
a następnie – po uproszczeniu, otrzymamy: (29) Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest funkcja: Następnie otrzymujemy wzory na naprężenia promieniowe i obwodowe ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

12 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Po uproszczeniu: Stałe całkowania C1 i C2 wyznaczamy z warunków brzegowych czyli Naprężenia promieniowe © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

13 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Naprężenia promieniowe Naprężenia obwodowe (styczne) (29) Przemieszczenie promieniowe punktu rury określonego promieniem r ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

14 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
(30) Przypadki szczególne. 1. Gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne p1 (p2=0) Przyrost długości promienia wewnętrznego rury Przypadek bardzo niekorzystny – rozciąganie Przy obliczaniu rur nie zaleca się stosowania hipotez wytężeniowych © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

15 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
t – naprężenia rozciągające r – naprężenia ściskające ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

16 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
2. Gdy działa tylko ciśnienie zewnętrzne p2 (p1=0) Zmiana (skrócenie) długości promienia zewnętrznego rury © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

17 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
r – naprężenia ściskające t – naprężenia ściskające ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

18 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Redukcja naprężeń rozciągających – układ 2-ch rur połączonych z wciskiem t – naprężenia rozciągające wynikowe dla układu 2-ch rur od ciśnienia wewnętrznego p1 o mniejszej wartości, niż dla pojedynczej rury t – naprężenia rozciągające dla pojedynczej rury od ciśnienia wewnętrznego p1 t – naprężenia rozciągające rurę B od ciśnienia wewnętrznego ps t – naprężenia ściskające w rurze A od ciśnienia zewnętrznego ps ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

19 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
(31) Naprężenia w połączeniach wciskowych  rw ps r3 ps rz r2z r2 r2w r1 Warunkiem współpracy połączenia wciskowego jest (przed montażem) różnica promienia wewnętrznego rury zewnętrznej r2z i promienia zewnętrznego rury wewnętrznej r2w. Określa ją wcisk . W wyniku „kasowania” wcisku, promienie współpracujących powierzchni wyrównują się (r2). Na powierzchniach tych działa ciśnienie ps. ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

20 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Zwiększenie długości promienia wewnętrznego rury zewnętrznej Zmniejszenie długości promienia zewnętrznego rury wewnętrznej Warunek geometryczny z którego wynika zależność © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology

21 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
a następnie – ciśnienie pomiędzy współpracującymi powierzchniami rury wewnętrznej i rury zewnętrznej Wyznaczona wartość ciśnienia powoduje określony rozkład naprężeń (promieniowych i obwodowych) w rurze wewnętrznej i zewnętrznej (patrz: szczególne przypadki obciążenia powłoki walcowej). © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology ©Prof. Krzysztof J. Kaliński

22 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
(32) Powłoka grubościenna kulista r1 – promień wewnętrzny powłoki kulistej r2 – promień zewnętrzny powłoki kulistej Naprężenia promieniowe Naprężenia obwodowe (styczne) © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :36:36

23 POWŁOKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne p1 (p2=0) Przyrost długości promienia wewnętrznego kuli Przyrost długości promienia zewnętrznego kuli © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :36:36

24 Dziękuję za uwagę !!! © Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology :36:36