Ciąg arytmetyczny Opracowały : Iwona Głowacka i Małgorzata Jacek
Czy potrafisz do nich dopisać kolejne wyrazy? Dane są ciągi: Czy potrafisz do nich dopisać kolejne wyrazy? Można to zrobić tylko dla ciągów i wówczas Jaką wspólną cechę mają te dwa ciągi?
Każdy następny wyraz w ciągu (an) zmienia się o 2, natomiast w ciągu (cn) zmienia się o -4. Zmianę tę nazywamy różnicą i oznaczamy r. Dla ciągu (an) r = 2, dla ciągu (cn) r = -4. Jeżeli to r = const
Ciąg, co najmniej trzywyrazowy, Definicja: Ciąg, co najmniej trzywyrazowy, w którym różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. (an) jest ciągiem arytmetycznym jeżeli:
Zadanie 1 Wyznacz cztery kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym a1 = 4 i r = 0,5. Odp. a2 = 4,5 ; a3 = 5; a4 = 5,5 ; a5 = 6. Zadanie 2 Wiedząc, że ciąg (an) jest arytmetyczny oraz a4 = 7 i a6 – a5 = -2, wyznacz trzy pierwsze jego wyrazy. Odp. a1 =13; a2 = 11; a3= 9.
Zadanie 3 Wykorzystując definicję wykaż, że ciąg an = 2n+1 jest ciągiem arytmetycznym. Rozwiązanie: badamy różnicę r: zatem r = 2 = const, czyli dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Wyprowadzenie wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego Ponieważ zatem czyli stąd
Zadanie 4 W ciągu arytmetycznym mamy a1 = 5 i r = -3. Wyznacz a4 , a9 , a20 . Rozwiązanie: Odp. a4 = -4, a9 = -19, a20 = -52.