Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych Ekonometria WYKŁAD 2 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Miary dopasowania modelu do danych Błędy szacunku parametrów Plan Czym się zajmiemy: Miary dopasowania modelu do danych Błędy szacunku parametrów Testowanie istotności parametrów

Postać liniowego modelu ekonometrycznego Analizujemy model regresji, w którym stosujemy k zmiennych objaśniających (wyraz wolny stanowi jedną ze zmiennych) postaci… …lub w postaci macierzowej 3

MNK – idea (1) 4

MNK – idea (2) 5

Współczynnik determinacji (1) Współczynnik determinacji (R^2) jest naturalna miarą jakości dopasowania modelu do danych empirycznych Informuje w jakim stopniu zmienność zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona przez model Wyprowadzenie wzoru 6

Współczynnik determinacji (2) 7

Współczynnik determinacji (3) Dzieląc stronami przez otrzymujemy: 8

Współczynnik determinacji (4) Inne postacie wzorów (w zapisie macierzowym): Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału <0;1> Interpretacja: współczynnik determinacji informuje, ile procent zmienności zmiennej objaśnianej zostało wyjaśnione przez model. 9

Współczynnik determinacji (5) Ograniczenia współczynnika determinacji: nadaje się do oceny dopasowania modelu, w którym relacja między zmiennymi objaśniającymi a objaśnianą jest liniowa, a parametry zostały wyestymowane MNK; przyjmuje wartości unormowane (od 0 do 1), jeśli w modelu jest wyraz wolny jest on rosnącą funkcją liczby zmiennych objaśniających modelu (dlaczego?), stąd nie nadaje się do porównywania jakości dopasowania modeli o różnej liczbie zmiennych 10

Współczynnik determinacji (6) Inne postacie współczynnika determinacji: Skorygowany: koryguje wpływ różnej liczby zmiennych na R^2 nakładając „karę” za każdą dodatkową zmienną; stosuje się go przy porównywaniu modeli o różnej liczbie zmiennych; współczynnik ten nie jest unormowany i może przyjmować ujemne wartości Niescentrowany: stosowany do oceny dopasowania modeli bez wyrazu wolnego; przyjmuje wartość z przedziału <0;1> 11

Alternatywne miary dopasowania modelu – kryteria informacyjne Kryteria informacyjne bazują na koncepcji, w której z jednej strony brana jest pod uwagę ilość informacji zawarta w modelu (mierzona logarytmem funkcji wiarygodności), z drugiej zaś poziom złożoności (liczba zmiennych modelu). Im większa wartość kryterium, tym gorsze dopasowanie modelu. Kryterium Akaike’a: Kryterium Schwarza: Kryterium Hannana-Quinna: 12

MNK – Własności arytmetyczne estymatora MNK (1) Przy oznaczeniach jak na slajdzie 4 estymator MNK dany jest wzorem: Obowiązują przy tym następujące zależności: Ponadto dla modelu z wyrazem wolnym i jedną zmienną objaśniającą odpowiednie macierze mają następującą postać: 13

MNK – Własności arytmetyczne estymatora MNK (2) Dla modelu z wyrazem wolnym i dwiema zmiennymi objaśniającymi macierze te mają postać: 14

MNK – Macierz kowariancji estymatora MNK (1) Macierz kowariancji estymatora MNK dana jest wzorem gdzie jest wariancją składnika losowego, która nie jest znana Estymator wariancji składnika losowego dany jest wzorem: stąd estymator macierzy kowariancji estymatora MNK przybiera postać: 15

MNK – Macierz kowariancji estymatora MNK (2) Macierz jest macierzą kwadratową i symetryczną o wymiarze równym liczbie szacowanych parametrów tzn. k+1 Jeśli poszczególne elementy macierzy oznaczymy jako to elementy stanowią oszacowania wariancji estymatorów poszczególnych parametrów strukturalnych. 16

Błędy szacunków parametrów Do wnioskowania o dokładności szacunków parametrów strukturalnych stosuje się odchylenia standardowe estymatora tych parametrów czyli: Wartość te nazywa się średnim błędem szacunku parametru j. Wartość ta stanowiłaby przeciętne odchylenie wartości wyestymowanego parametru, jeśli możnaby dokonać estymacji na innych próbach o tej samej liczebności. Do wnioskowania wygodniejszy jest tzw. średni względny błąd szacunku wyrażony w procentach wyestymowanej wartości parametru i opisany wzorem: 17

Testy istotności parametrów (1) Podstawowym testem stosowany do oceny istotności oszacowań parametrów strukturalnych jest test bazujący na statystyce t-Studenta. Testowany jest zestaw hipotez postaci: Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład t- Studenta z T-(k+1) stopniami swobody 18

Testy istotności parametrów (2) Sposoby testowania: a) Jeśli zachodzi gdzie to wartość odczytana z tablic rozkładu dla zadanej liczby stopni swobody i ustalonego poziomu istotności, to odrzucamy hipotezę zerową o braku istotności, zaś w przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do jej odrzucenia b) W praktyce łatwiej posługiwać się tzw. empirycznym poziomem istotności oznaczanym jako „wartość p” lub „p- value”. Jest to najniższy poziom istotności, przy którym odrzucalibyśmy hipotezę zerową. Jeśli wartość empirycznego poziomu istotności jest niższa od ustalonej do testowania wartości poziomu istotności to odrzucamy hipotezę zerową. 19

Testy istotności parametrów (3) 𝛼 𝑝−value 𝑡 𝑗 = 𝛽 𝑗 𝑆 𝑗 𝑡 𝑇− 𝑘+1 ;𝛼 ∗

Testy łącznej istotności parametrów (test Walda) (1) Test Walda służy do testowania łącznej istotności zmiennych ujętych w modelu Testowany jest zestaw hipotez postaci: Ujmując to inaczej jest to test porównujący jakość dopasowania do danych dwóch modeli: 21

Testy łącznej istotności parametrów (test Walda) (2) Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład F-Snedecora przy liczbie stopni swobody k i T-(k+1) Hipotezę zerową o braku istotności należy odrzucić jeśli gdzie to wartość statystyki odczytana z tablic rozkładu 22

Uogólniony test Walda dla restrykcji liniowych Test Walda łącznej istotności parametrów jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego testu, gdzie weryfikacji poddawany jest zestaw hipotez Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ma rozkład F-Snedecora przy liczbie stopni swobody q i T-(k+1), gdzie q liczba nałożonych restrykcji, e i v to wektory reszt dla modeli, odpowiednio, bez i z resrykcjami Ta postać testu wykorzystywana jest m. in. do testowania postaci funkcyjnej modelu (test RESET), stabilności strukturalnej (test Chowa), kompletności zestawu zmiennych objaśniających (test Davidsona –MacKinona) 23

Dziękuję za uwagę