Czy wiesz, że?
Czy wiesz, że? 1+2+3+4+5+6+...=?
Czy wiesz, że? 1+2+3+4+5+6+...=-1/12
Aby pokazać, że tak nie jest posłużymy się paroma sumami: Suma liczb natualnych Z pozoru wydawać by się mogło, że suma wszystkich liczb naturalnych jest równa nieskończoności, lub co najmniej liczbie dodatniej. Aby pokazać, że tak nie jest posłużymy się paroma sumami:
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=?
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy obliczyć na kilka sposobów:
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy rozwiązać na kilka sposobów: (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy rozwiązać na kilka sposobów: (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0 1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+…=1
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? Sumę tę możemy rozwiązać na kilka sposobów: (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0 1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+…=1 Tym sposobem dochodzimy do pewnego paradoksu, w którym suma ta jest równa jednocześnie 1 i 0. Popatrzmy dalej:
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)=
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)= =1-1+1-1+1-1+1-1+1-…
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)= =1-1+1-1+1-1+1-1+1-…=S1
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)= =1-1+1-1+1-1+1-1+1-…=S1 1-S1=S1
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)= =1-1+1-1+1-1+1-1+1-…=S1 1-S1=S1 1=2S1
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=? 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)= =1-1+1-1+1-1+1-1+1-…=S1 1-S1=S1 1=2S1 S1= 1/2
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2 1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+…)= =1-1+1-1+1-1+1-1+1-…=S1 1-S1=S1 1=2S1 S1= ½ Jest to tzw. Szereg Grandiego
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2 Wyobraźmy sobie, że zapalamy żarówkę Czekamy 10 sekund i wyłączamy Czekamy 5 sekund i włączamy Czekamy 2,5 sekundy i wyłączamy Czekamy 1 i 1/4 sekundy i włączamy … Po upływie 20 sekund żarówka będzie zapalona, czy zgaszona?
S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2 Można przyjąć, że żarówka będzie w połowie włączona i w połowie wyłączona. Po upływie 20 sekund żarówka będzie zapalona, czy zgaszona?
S2=1-2+3-4+5-6+…=? S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2= S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…=
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1
S2=1-2+3-4+5-6+…=? 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1 2S2=S1 2S2=1/2 S2=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 2S2=1-2+3-4+5-6+… +1- 2+3-4+5-6+…= =1 -1+1-1+1-1=S1 2S2=S1 2S2=1/2 S2=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
Przejdźmy do naszej sumy S:
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2= S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)=
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…= S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…=4(1+2+3+…)= S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…=4(1+2+3+…)=4S S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S 3S=-S2 S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S 3S=-S2 3S = -1/4 S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=? S-S2=1+2+3+4+5+6+…+ -(1-2+3-4+5-6+…)= =1+2+3+4+5+6+…+ -1+2-3+4-5+6-…= =0+4+0+8+0+12+…= =4+8+12+…=4(1+2+3+…)=4S S-S2=4S 3S=-S2 3S = -1/4 S = -1/12 S2=1-2+3-4+5-6+…=1/4 S1=1-1+1-1+1-1+1-1+…=1/2
S=1+2+3+4+5+6+…=-1/12
S=1+2+3+4+5+6+…=-1/12 Szereg ten ma wiele zastosowań we współczesnej fizyce - jest używany w teorii strun, do obliczania poziomów energetycznych strun.
Przygotowali: Agnieszka Pastuszka kl. Ia Jakub Jasiołek kl. IIIa Koniec Przygotowali: Agnieszka Pastuszka kl. Ia Jakub Jasiołek kl. IIIa LO Gilowice