TRYGONOMETRIA SFERYCZNA Wykład 2 (Trójkąt prostokątny) Materiały dydaktyczne © Leszek Smolarek

Trójkąt sferyczny prostokątny

Twierdzenie sinusów C = 900 cos C = 0, sin C = 1 sin a = sin A · sin c cos(900- a) = sin A · sin c sin b = sin B · sin c cos(900- b) = sin B · sin c

Twierdzenie cosinusów dla boków cos c = cos b · cos a cos c = sin(900- a) · sin(900- b)

Twierdzenie cosinusów dla kątów cos A = cos a · sin B cos B = cos b · sin A cos B · cos A= sin A · sin B · cos c cos A = sin(900- a) · sin B cos B = sin(900- b)· sin A cos c = ctg A · ctg B

Twierdzenie cotangensów cos A · cos b = sin b · ctg c – sin A · ctg C cos b · cos C = sin b · ctg a – sin C · ctg A cos a · cos C = sin a · ctg b – sin C · ctg B cos a · cos B = sin a · ctg c – sin B · ctg C sin b · ctg c = cos A · cos b sin b · ctg a – ctg A = 0 sin a · ctg b – ctg B = 0 sin a · ctg c = cos a · cos B cos A = ctg (900- b) · ctg c cos(900- b) = ctg(900–a) · ctg A cos(900- a) = ctg(900- b) · ctg B cos B = ctg (900- a) · ctg c

Reguła Nepera Jeśli rozmieścimy pięć elementów trójkąta sferycznego prostokątnego na kole (pomijając kąt prosty) w takiej kolejności, w jakiej występują w trójkącie i zastąpimy przy tym przyprostokątne (boki a i b) ich dopełnieniami do 90° to: Cosinus każdego z elementów jest równy iloczynowi cotangensów dwóch przylegających do niego elementów. Cosinus każdego z elementów jest równy iloczynowi sinusów dwóch nie przylegających do niego elementów

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Dane są przeciwprostokątna c i kąt A. Dane Stopnie Minuty c 104 52 A 141 48

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Stopnie Minuty a1 = 36 42,4 a2 = 143 17,6 b = 71 20,1 B = 78 35,1 Ponieważ kąt A jest większy od kąta B to a = a2.

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy

Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy Dane są przyprostokątna a i kąt przeciwległy A Dane Stopnie Minuty a 40 15,5 A 55 29,8

Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy Stopnie Minuty b1 = 35 35,8 b2 = 144 24,2 c1 = 51 38,7 c2 = 128 21,3 B1 = 47 55,5 B2 = 132 4,5 Zadanie ma dwa rozwiązania b = b1, c = c1, B = B1 oraz b = b2, c = c2, B = B2

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy Przyprostokątna i kąt do niej przyległy

Przyprostokątna i kąt do niej przyległy Dane są przyprostokątna a i kąt przylegający B Dane Stopnie Minuty a 56 43 B 112 25

Przyprostokątna i kąt do niej przyległy Stopnie Minuty b = 116 15,9 c = 104 3,3 A = 59 30,9

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy Przyprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątne

Przyprostokątne Dane są dwie przyprostokątne a i b Dane Stopnie Minuty a 23 40 b 21 15

Przyprostokątne cosa 0,915896 cosb 0,932008 tga 0,438276 tgb 0,388879 sina 0,401415 sinb 0,362438 cosc 0,853623 tgA 1,209243 tgB 0,96877   stopnie minuty c= 31 23,5 A= 50 24,6 B= 44 5,5

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy Przyprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątne Przyprostokątna i przeciwprostokątna

Przyprostokątna i przeciwprostokątna Dane są przyprostokątna a i przeciwprostokątna c. Dane Stopnie Minuty a 58 26 c 68 2

Przyprostokątna i przeciwprostokątna Stopnie Minuty A1 = 66 44,5 A2 = 113 15,5 b = 44 23,6 B = 48 58,0 Ponieważ bok a jest mniejszy od boku c to kąt A musi być mniejszy od 900, czyli A = A1.

Przeciwprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy Przyprostokątna i kąt do niej przyległy Przyprostokątne Przyprostokątne i przeciwprostokątna Dwa pozostałe kąty

Dwa pozostałe kąty Dane Stopnie Minuty A 50 20 B 132 55

Dwa pozostałe kąty Stopnie Minuty a = 29 21,2 b = 152 12,1 c = 140 26,7

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY - C=900

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ