Renata Maciaszczyk Kamila Kutarba

Teoria gier a ekonomia: problem duopolu  Dupol- stan w którym dwaj producenci kontrolują łącznie cały rynek jakiegoś produktu  Problem duopolu polega na określeniu wysokości prdukcji przy której producent osiąga największy zysk

Przyjmiemy zmienne:  q i wielkość produkcji(w tysiącach sztuk) producenta  AC i – średni koszt (w $) wyprodukowania jednej sztuki przez producenta i  TC=q*AC – łączne koszty produkcji producenta i  MC i = koszt krańcowy, koszt (na jedną sztukę ) nieznacznego zwiększenia produkcji przez producenta  p- cena sprzedaży jednej sztuki produktu  P=q*p-TC zysk producenta i w tysiącach $

Przykład :średni koszt wyprodukowania jednej sztuki określają następujące funkcje  AC 1 =64-4q 1 +q 1 2 AC 2 =80-4q 2 +q 2 2

Koszty produkcji  Dla obu firm średni koszt produkcji wraz z jej wzrostem początkowo maleje dzięki efektywniejszemu wykorzystywaniu zasobów firmy, osiągając minimum w punkcie q = 2, po czym zaczyna wzrastać, gdy zwiększanie produkcji wymaga dodatkowego kapitału i zwiększenia zatrudnienia. Producent 1 jest bardziej wydajny niż Producent 2. Niezależnie od wielkości produkcji, ma koszty produkcji niższe o 16 dolarów na jednej sztuce.

Koszty krańcowe obliczamy różniczkując łączne koszty produkcji  TC 1 =64q 1 -4q 1 2 +q 1 3 TC 2 =80q 2 -4q 2 2 +q 2 3  MC 1 =64-8q 1 +3q 1 2 MC 2 =80-8q 2 +3q 2 2  Założenie co do relacji pomiędzy całkowitą wartością produkcji a możliwą do uzyskania ceną jednej sztuki p=160-8(p 1 +p 2 )

Jeśli podaż jest bardzo mała jedną sztukę można sprzedać za 160 dolarów. Gdy produkcja wzrasta, sprzedaż wszystkiego co zostało wyprodukowane jest możliwa po obniżeniu ceny. Zysk producenta można obliczyć P 1 =q 1 (160-8q 1 -8q 2 )-(64q 1 -4q 1 2 +q 1 3 )=96q 1 -4q 1 2 -q q 1 q 2 Analogicznie P 2 =q 2 (160-8q 1 -8q 2 )-(80q 2 -4q 2 2 +q 2 3 )=80q 2 -4q 2 2 -q q 1 q 2

 Każdy z producentów dąży do osiągnięcia takiego poziomu produkcji aby zmaksymalizować zysk.  Musimy uwzględnić fakt że zysk zależny jest nie tylko od działań firmy ale także od wielkości produkcji konkurenta.  Mamy więc do czynienia z grą

 Obie firmy produkują na początku niewielkie ilości towary a następnie zwiększają produkcję do momentu gdy koszt krańcowy osiągnie wartość możliwą do osiągnięcia ceny sprzedaży.  Mamy tu doczynienia z klasyczną równowagą rynkową MC 1 =p=MC 2

Czyli u nas q 1 + 3q 1 2 = 160 – 8(q 1 + q 2 ) = q 2 + 3q 2 2 Rozwiązując układ równań 8q 2 = q 1 2 8q 1 = q 2 2 Otrzymujemy q 1 = 4,69 q 2 = 3,76 Przy takim poziomie produkcji w obu firmach cena sprzedaży wynosi 92$ Natomiast zyski P 1 = 118, P 2 = 50.

 Klasyczna równowaga rynkowa nie uwzględnia faktu, iż wielkość produkcji obu producentów wpływa na cenę produktu. Gdyby produkcja była mniejsza, cena byłaby wyższa i możliwe, że pozwoliłoby to osiągnąć większe zyski.  Możemy to przedstawić jako grę dwuosobową pomiędzy Producentem 1, a Producentem 2. q 2 2,02,53,03,54,0 2,0136,104128,119120,129112,132104,128 2,5159,96149,109139,117129,118119,112 3,0177,88165,99153,105141,104129,96 3,5188,80174,89160,93146,90132,80 4,0192,72176,79160,81144,76128,64 4,5188,64170,69152,69134,62116,48 5,0175,56155,59135,57115,4895,32 q1q1

Nie jest to gra o sumie zerowej Obaj producenci obniżając produkcję mogą podnieść swoje zyski Diagram przesunięć dla gry duopolu Producent 2 2 2,5 3 3, ,5 3 3,5 4 4,5 5 Producent 1

Gra ma jedna równowagę Nasha Możemy znaleźć jej dokładne położenie wykorzystując fakt, że jest to punkt, w którym żaden z graczy nie może zwiększyć swojego zysku P i przez zmianę q i Zatem musi być spełniony układ równań: = q 1 - 3q q 2 = q 2 – 3q q 1 Rozwiązaniem tego układu równań są q 1 = 3,75 q 2 = 2,96 Przy takiej produkcji cena wyniesie 106 $, a zyski P 1 = 162 P 2 = 87. To rozwiązanie w ekonomii nosi nazwę równowagi Cournota.

Równowaga Nasha-Cournota w tej grze nie jest paretooptymalna, co zobaczymy zaznaczając wypłaty na wykresie – obie firmy zyskałyby na wzajemnej kooperacji. Jeżeli dopuścimy kooperację możemy wyznaczyć rozwiązanie arbitrażowe Nasha – znajduje się ono w punkcie q 1 = 3,30, q 2 = 2,40, przy cenie 114$ i zyskach P 1 = 174 i P 2 = 91. jest to wynik dla obu producentów korzystniejszy niż równowaga Nasha-Cournota.

Kooperacja  Kooperacja w warunkach duopolu z reguły polegająca na zmniejszeniu produkcji i podniesieniu cen, jako niekorzystna dla konsumentów jest często nazywana „zmową producentów” i prawnie zakazywana

Wypłaty uboczne  Rozpatrzmy sytuację gdy jedna z firm może przekazywać drugiej wypłaty uboczne  W takiej sytuacji firmy mogą osiągnąć jeszcze wyższy zysk przy q 1 = 3,66, q 2 = 1,66, kiedy łączny zysk obu firm wynosi 269 (P 1 =200, P 2 =69). Jeśli Producent 1 przekaże Producentowi 2 wypłatę uboczną w wysokości 24 (a więc zyski obu firm będą wynosiły odpowiednio 176 i 93).

 Z punktu widzenia producentów, rozwiązania można uporządkować od najbardziej do najmniej korzystnego: monopol kooperacja z wypłatami ubocznymi kooperacja bez wypłat ubocznych niekooperacyjna równowaga w grze klasyczna równowaga rynkowa  Z punktu widzenia konsumenta uporządkowanie jest odwrotne.

Porównania wszystkich rozpatrywanych przez nas rozwiązań problemu duopolu. rozwiązanieq1q2P1P2p Klasyczna równowaga rynkowa 4,693, Równowaga Nasha (Cournota) 3,752, Rozwiązanie arbitrażowe Nasha 3,302, Rozwiązanie z wypłatami ubocznymi 3,661, Monopol Producenta 14, Monopol Producenta 2-4,