TWIERDZENIE TALESA. Tales z Miletu to jeden z najwybitniejszych mędrców starożytności. Zasłynął nie tylko jako filozof ale także jako matematyk i astronom. Potrafił przewidywać zaćmienia słońca, czym prawdopodobnie przyczynił się do wyniku bitwy nad rzeką Halys. Twierdzenie Talesa przedstawione w tej lekcji to potężne narzędzie w geometrii. Tales dzięki swojej wiedzy już w VI w p. n. e. potrafił obliczać wysokość m. in. piramid tylko w oparciu o pomiar długości ich cienia…

TALES Z MILETU

ODCINKI PROPORCJONALNE. Co to oznacza, że dane odcinki są proporcjonalne? Oznacza to, że jeśli podzielimy przez siebie ich długości, to otrzymamy tę samą liczbę. PRZYKŁAD: |AB|= 0,9 |BC| = 0,4 |AD| = 1,8 |DE| = 0,8

ODCINKI PROPORCJONALNE. Jeżeli zachodzi powyższa proporcja, to o odcinkach AD I DE mówimy, że są proporcjonalne do odcinków AB i BC.

TWIERDZENIE TALESA. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. m || n

PROPORCJE WYNIKAJĄCE Z TWIERDZENIA TALESA.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą x. Rozwiązujemy proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: 2,4 ∙ 3,5 = 1 ∙ x x = 8,4

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą a. Rozwiązujemy proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: 2 ∙ (2 + 6) = 2a 16 = 2a a = 8

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą y. 25 ∙ (y + 30) = 30 ∙ 70 25y = y = 1350 | : 25 y = 54

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą b. W tym przypadku także „działa” twierdzenie Talesa. Układamy proporcję dla odpowiednich odcinków. 12 ∙ 7 = b ∙ 6 6b = 84 | : 6 b = 14

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 5. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą z. 8 ∙ (13 + z) = (9 + z) ∙ z = z 8z – 10z = 90 – z = -14 | : (-2) z = 7

DOWÓD TWIERDZENIA TALESA. Dowód tego twierdzenia jest dość prosty. Opiera się na dwóch faktach: 1.Pola trójkątów, które mają wspólną podstawę i równe wysokości, są takie same. 2. Stosunek pól trójkątów, które mają taką samą wysokość, jest równy stosunkowi ich podstaw.

DOWÓD TWIERDZENIA TALESA. Trójkąty ADB i DEB mają wspólną wysokość h 1. Zgodnie z podanymi powyżej faktami zachodzi: P ΔADB P ΔDEB = b d k || l

DOWÓD TWIERDZENIA TALESA. Trójkąty ADB i DCB mają wspólną wysokość h 2. Analogicznie: = k || l P ΔADB P ΔDCB a c

DOWÓD TWIERDZENIA TALESA. Godnie z pierwszym faktem zachodzi: k || l P ΔDEB = P ΔDCB Mamy zatem: P ΔADB P ΔDCB = a c P ΔDEB = P ΔDCB P ΔADB P ΔDEB = b d

DOWÓD TWIERDZENIA TALESA. Po uporządkowaniu dostajemy:, zachodzi więc równość: co kończy dowód. P ΔADB P ΔDCB = a c P ΔADB P ΔDEB = b d = a c = b d

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Maszt rzuca cień długości 164 m. Na maszcie umieszczono anteny stacji nadawczych telefonii komórkowej. Najniżej umieszczona antena jest na wysokości 15m nad ziemią. Cień anteny zaczyna się w odległości 12m od masztu. Jak wysoki jest maszt? Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykonania rysunku pomocniczego

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy. Zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzi równość: Rozwiązujemy proporcje: 15 ∙ 164 = x ∙ 12 12x = 2460 |: 12 x = 205 (m) Odpowiedź: Maszt ma 205 m wysokości.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Przy drodze rosło samotne drzewo. Aby poznać jego wysokość, uczniowie dokonali odpowiednich pomiarów. Następnie, korzystając ze schematu, obliczyli jego wysokość. Przedstaw ich obliczenia. Uzyskane przez gimnazjalistów pomiary: długość cienia drzewa – 5,6 m długość cienia Basi – 1,4 m wzrost Basi – 1,7 m

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzi proporcja: Po podstawieniu danych otrzymujemy: 1,7 ∙ 5,6 = x ∙ 1,4 1,4x = 9,52 |: 1,4 x = 6,8 Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 6,8 m.