Podstawy analizy portfelowej

Teoria portfela Podstawa podejmowania decyzji inwestycyjnych w warunkach niepewności. Decyzje podejmowane są ze względu na dwa kryteria: Dochód – mierzony oczekiwaną stopą zwrotu; Ryzyko – mierzone odchyleniem standardowym stopy zwrotu. Inwestor stara się maksymalizować dochód, minimalizując ryzyko.

Pomiar zależności miedzy stopami zwrotu Korelacja stóp zwrotu – analiza korelacji odpowiada na pytanie czy zmiany stopy zwrotu z jednej inwestycji powiązane są ze zmianami stopy zwrotu z innej inwestycji.

Współczynnik korelacji gdzie: ρ12 – współczynnik korelacji stóp zwrotu inwestycji pierwszej i drugiej, m – liczba możliwych stóp zwrotu, ri1 – i-ta możliwa stopa zwrotu inwestycji pierwszej, ri2 – i-ta możliwa stopa zwrotu inwestycji drugiej pi – prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej stopy zwrotu, E(r) – oczekiwana stopa zwrotu i-tej inwestycji

Interpretacja współczynnika korelacji Współczynnik korelacji stóp zwrotu z akcji określa siłę i kierunek powiązań stóp zwrotu tych akcji. Współczynnik korelacji posiada następujące właściwości: Przyjmuje wartości z przedziału od -1 do +1. Wartość bezwzględna wskazuje na siłę powiązań stóp zwrotu. Im wyższa wartość bezwzględna, tym powiązanie silniejsze. Znak współczynnika wskazuje kierunek powiązań. Dodatnia wartość oznacza dodatnią korelację akcji (wzrostowi/spadkowi stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost/spadek stopy zwrotu drugiej akcji). Ujemna wartość oznacza ujemną korelację akcji (wzrostowi/spadkowi stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy spadek/wzrost stopy zwrotu drugiej akcji), Mierzy wyłącznie liniową zależność stóp zwrotu.

Kowariancja stóp zwrotu Kowariancja stóp zwrotu jest miarą stopnia „wzajemnego ruchu w czasie” dwóch stóp zwrotu w stosunku do ich średniej wartości. Dodatnia kowariancja oznacza, że stopy zwrotu z dwóch inwe-stycji zmieniają się w czasie w tym samym kierunku co ich średnie. Ujemna kowariancja oznacza, że stopy ulegają zmia-nom w odwrotnym kierunku niż ich średnie.

Kowariancja z próby – estymator nieobciążony

Alternatywny zapis współczynnika korelacji

Współczynnik korelacji z próby

Aktywa wolne od ryzyka Kowariancja aktywa wolnego od ryzyka z jakimkolwiek aktywem obciążonym ryzykiem zawsze wynosi 0. W konsekwencji wartość 0 przyjmuje również współczynnik korelacji aktywa wolnego od ryzyka z dowolnym aktywem obciążonym ryzykiem.

Portfel dwóch spółek – oczekiwana stopa zwrotu Rp = w1 × E(r1) + w2 × E(r2)   gdzie: Rp – oczekiwana stopa zwrotu z portfela, E(r1) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji 1, E(r2) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji 2, w1 – udział procentowy akcji 1 w portfelu, w2 - udział procentowy akcji 2 w portfelu.

Wariancja i odchylenie standardowe stopy zwrotu Vp = w12 × σ12 + w22 × σ22 + 2 × w1 × w2 × σ1 × σ 2 × ρ(R1, R2) = w12 × σ12 + w22 × σ22 + 2 × w1 × w2 × Cov12   σp = Vp 0,5 gdzie: Vp - wariancja portfela, σ p – odchylenie standardowe portfela, w1 – udział procentowy akcji 1 w portfelu, w2 - udział procentowy akcji 2 w portfelu. σ 1– odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji 1, σ 2 – odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji 2. ρ(R1, R2) - współczynnik korelacji stóp zwrotu,

Przykład 1 Doradca inwestycyjny buduje portfel złożony z akcji A i B. Spółka A ma oczekiwana stopę zwrotu równą 10% z odchyleniem standardowym równym 16% zaś spółka B odpowiednio 24% i 19%. Zamierzasz zainwestować 60% portfela w akcję A i 40% portfela w akcje B. Współczynnik korelacji pomiędzy stopami zwrotu z obu akcji wynosi 30%. Oblicz ile wyniesie odchylenie standardowe tak skonstruowanego portfela.

Przykład 2 Który z następujących dwóch portfeli jest efektywniejszy: Portfel A: dwa instrumenty; oczekiwane stopy zwrotu: r1 = 10%, r2 = 20%; wagi: w1 = 0,3, w2 = 0,7; odchylenia standardowe: s1 = 3%, s2 = 5%; współczynnik korelacji k = 0,8 Portfel B: dwa instrumenty: oczekiwane stopy zwrotu: r1 = 8%, r2 = 15%; wagi: w1 = 0,6, w2 = 0,4; odchylenia standardowe: s1 = 10%, s2 = 14%; współczynnik korelacji k = (-0,5)

Ryzyko portfela zależy nie tylko od ryzyka składników portfela ale również od stopnia powiązania stóp zwrotu tych składników, mierzonego współczynnikiem korelacji.

Współczynnik korelacji = 1 rp B A σp

Współczynnik korelacji = -1 rp B D C A σp

Portfel o zerowym ryzyku

Współczynnik korelacji -1<ρ<1 rp B D C A σp

Portfel o minimalnej wariancji

Przykład 3 Portfel składa się z akcji A i B o zerowej korelacji między sobą, zaś na rynku nie występuje krótka sprzedaż. Oblicz udział spółki A w portfelu charakteryzującym się minimalnym ryzykiem, gdy odchylenie standardowe spółki B jest dwu i półkrotnie większe od odchylenia standardowego spółki A.

Dopuszczenie krótkiej sprzedaży, współczynnik korelacji = 1 Portfel o zerowym odchyleniu standardowym powstanie dla wag równych:

Dopuszczenie krótkiej sprzedaży – interpretacja graficzna B D C A σp

Portfel wielu spółek Autor – Harry Markowitz (1952) Założenia: Badamy portfel n – spółek, gdzie dane są: Oczekiwane stopy zwrotu każdej spółki, Odchylenia standardowe stopy zwrotu każdej spółki Współczynniki korelacji stóp zwrotu każdej pary spółek

Model Markowitza Teoria Markowitza opiera się na założeniu, że inwestor dysponuje pewnym kapitałem początkowym, który inwestuje w portfel papierów wartościowych w chwili t = 0. W chwili t = 1 inwestor sprzedaje posiadany portfel, a otrzymany kapitał zużywa na konsumpcję lub inwestuje w inny portfel. Model Markowitza jest więc modelem jednookresowym.

Założenia generalne Analizowany portfel inwestora obejmuje wszystkie jego aktywa i pasywa Inwestorzy wykazują się generalną awersją względem ryzyka, co oznacza, że spośród dwóch aktywów o jednakowej stopie zwrotu wybierają ten, który charakteryzuje się niższym ryzykiem.

Założenia szczegółowe Inwestor rozpatruje każdą inwestycję z punktu widzenia rozkładu prawdopodobieństwa oczekiwanej stopy zwrotu w danym horyzoncie czasowym. Inwestor zmierza do maksymalizacji oczekiwanej użyteczności w danym horyzoncie czasowym, a jego krzywe użyteczności odzwierciedlają malejącą użyteczność krańcową bogactwa. Inwestor szacuje ryzyko inwestycji na podstawie zmienności oczekiwanej stopy zwrotu. Inwestor podejmuje decyzje wyłącznie na podstawie informacji o oczekiwanej stopie zwrotu i ryzyku, co oznacza że jego krzywe użyteczności są funkcją dwóch zmiennych: oczekiwanej stopy zwrotu i oczekiwanej wariancji (odchylenia standardowego) stopy zwrotu. Dla danego poziomu ryzyka inwestor preferuje jak najwyższą stopę zwrotu, dla danego poziomu ryzyka inwestor preferuje jak najniższy poziom ryzyka.

Oczekiwana stopa zwrotu gdzie: rp – oczekiwana stopa zwrotu z portfela wi – udział i-tej spółki w portfelu E(ri) – oczekiwana stopa zwrotu z i-tej spółki

Wariancja stopy zwrotu z portfela gdzie: Vp – wariancja stopy zwrotu portfela σi – odchylenie standardowe stopy zwortu i-tej akcji ρij – współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej i j-tej

Odchylenie standardowe stopy zwrotu

Przykład 4 Kowariancja pomiędzy stopami zwrotu każdej z par akcji portfela wynosi 100, zaś wariancja stopy zwrotu każdej akcji wynosi 120. Ile wyniesie odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela złożonego z 80 takich akcji, jeśli udziały akcji w portfelu są jednakowe (po 1/80)

Zbiór możliwości (opportunity set) rp E T S D U C X B A σp

Zbiór możliwości (opportunity set) Zbiór możliwości, obejmujący brzegi i wnętrze figury z poprzedniego slajdu to zbiór wszystkich portfeli możliwych do zbudowania z instrumentów dostępnych na rynku dla inwestora (w naszym przypadku są to akcje A, B, C, D i E).

Zbiór efektywny i portfel efektywny Zbiór efektywny (efficient set) obejmuje wszystkie portfele leżące na krzywej między X i E. Portfele należące do tego zbioru to portfele efektywne, czyli jedyne portfele atrakcyjne dla inwestora.

Portfel efektywny Portfel efektywny to portfel, który: dla danej oczekiwanej stopy zwrotu minimalizuje ryzyka, dla danego ryzyka maksymalizuje oczekiwaną stopę zwrotu.

Wybór portfela a użyteczność inwestora Inwestor dokonuje wyboru portfela posługując się swoimi krzywymi obojętności (indifference curves) zwanymi też krzywymi jednakowej użyteczności (iso-utility curves).

Cechy krzywych obojętności Wszystkie portfele leżące na jednej krzywej obojętności są jednakowo pożądane przez inwestora; Dwie krzywe obojętności nie mogą się przecinać; Portfel leżący na krzywej obojętności leżącej bardziej „na północny zachód” jest dla inwestora bardziej pożądany od każdego portfela z krzywej obojętności leżącej „bardziej na południowy wschód”; Dla każdego inwestora możliwe jest wyznaczenie nieskończonej liczby krzywych obojętności.

Portfel wielu spółek i krzywe obojętności rp E T D S C B A σp

Model Markowitza - wnioski Konieczność dywersyfikacji portfela – wybór spółek o ujemnych lub niskich współczynnikach korelacji. Kluczowa jest nie liczba składników portfela, lecz wielkość współczynników korelacji. Ryzyko przedywersyfikowania.

Przykład 5 Dany jest portfel n spółek, gdzie udziały każdej spółki w wartości portfela są jednakowe. Wariancja portfela n spółek wynosi: gdzie: - średnia arytmetyczna wariancji składników portfela - średnia arytmetyczna kowariancji par składników portfela

Teoria portfela z aktywami wolnymi od ryzyka James Tobin (1958) Budowa portfela dwuskładnikowego = portfel akcji + instrument wolny od ryzyka

Cechy portfela dwuskładnikowego gdzie: rp – oczekiwana stopa zwrotu z portfela dwuskładnikowego σp – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego rf – stopa wolna od ryzyka re – stopa zwrotu z portfela akcji σe – odchylenie standardowe portfel akcji wf – udział instrumentów wolnych od ryzyka w portfelu

Ilustracja graficzna rp E M D C F X B A σp

Linia rynku kapitałowego (Capital Market Line – CML) Zbiór efektywny portfeli dwuskładnikowych jest półprostą daną równaniem: gdzie: r – oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego, σ – odchylenie standardowe portfela efektywnego, rM – oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego, σM – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela rynkowego.

Interpretacja linii CML Oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego jest liniową funkcją ryzyka tego portfela. Wyraz wolny równania jest równy stopie wolnej od ryzyka, a współczynnik kierunkowy zależy od stopy wolnej od ryzyka, oczekiwanej stopy zwrotu portfela rynkowego i ryzyka portfela rynkowego.

Interpretacja linii CML cd. Oczekiwana stopa zwrotu jest sumą dwóch składników: stopy wolnej od ryzyka i premii za ryzyko czyli inaczej sumą ceny czasu i ceny ryzyka. Cena czasu = stopa wolna od ryzyka. Cena ryzyka = iloczyn ponoszonego ryzyka i ceny jednostki ryzyka. Cena jednostki ryzyka = iloraz rynkowej premii za ryzyko i przeciętnego ryzyka ponoszonego na rynku akcji.

Linia CML dla różnych stóp depozytu i kredytu rp M2 E M1 D C FB FL X B A σp