© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 1 Modelowanie i podstawy identyfikacji - studia stacjonarne Wykład 12b /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie – część II

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 2 Model rozmyty lingwistyczny – Mamdani’ego Model rozmyty lingwistyczny ma postać zbioru reguł rozmytych o następującej strukturze: – zmienna lingwistyczna przesłanki/wejścia – wartość zmiennej lingwistycznej przesłanki/wejścia – zmienna lingwistyczna konkluzji/wyjścia – wartość zmiennej lingwistycznej konkluzji/wyjścia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 3 Model rozmyty lingwistyczny – Mamdani’ego Zwykle wymaga się żeby zbiór reguł rozmytych posiadał pewne właściwości – wymienimy jedną:  kompletność Kompletność. Kompletność oznacza, że każdy element przestrzeni rozważań wejść jest przypisany do co najmniej jednego zbioru rozmytego z niezerowym stopniem przynależności Alternatywnie może być nakładane wymaganie nazywane  -kompletnością

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 4 Model rozmyty lingwistyczny – Mamdani’ego: przykład Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu gazu Wejście – x, natężenie dopływu tlenu O 2, skalar Wyjście – y, moc grzejna, skalar Wartości lingwistyczne wejścia – T(x) = {Low, OK, High} Wartości lingwistyczne wyjścia – T(y) = {Low, High}

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 5 Model rozmyty – wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Wnioskowanie w systemie opisanym regułami rozmytymi  realizuje schemat wnioskowania Uogólniony Modus Ponens  jest procesem opartym o złożeniową zasadę wnioskowania (Zadeh 1973) Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 6 Model rozmyty – wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie klasyczne - reguła Modus Ponens Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1 (fakt) Przesłanka 2 (implikacja) Konkluzja/ Wniosek x = A JEŚLI x = A TO y = B y = B gdzie: A, B - wartości x, y – zmienne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest dojrzały

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 7 Model rozmyty – wnioskowanie rozmyte Wnioskowanie rozmyte - tautologia Uogólniony Modus Ponens: Przesłanka 1 (fakt) Przesłanka 2 (implikacja) Konkluzja/Wniosek x = A’ JEŚLI x = A TO y = B y = B’ gdzie: A’, B’ oznacza „bliski A”, „bliski B” odpowiednio A, A’, B, B’, - zbiory rozmyte x, y – zmienne rozmyte Skróty: Uogólniony Modus Ponens - UMP Generalised Modus Ponens - GMP Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 8 Mechanizm wnioskowania oparty na uogólnionej regule modus ponens Mając regułę if-then oraz fakt x is A’ zbiór wyjściowy B’ jest wyliczany w oparciu o złożeniową zasadę wnioskowania Model rozmyty – wnioskowanie rozmyte Jak obliczyć B’? Wartość wyjścia Wartość wejścia Relacja określona regułą Symbol operacji złożenia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 9 Reguła rozmyta jako relacja Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta, czyli rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y (dla uproszczenia zapisu dalej będziemy opuszczać indeks i) z funkcją przynależności obliczaną z formuły Będziemy ten ostatni zapis odczytywać: jest z w relacji w stopniu określonym operatorem - operatorem implikacji rozmytej

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 10 Reguła rozmyta jako relacja Operator I może realizować:  implikację rozmytą w sensie klasycznym  implikację rozmytą inżynierską Przykłady operatorów implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD) W modelu rozmytym Mamdani’ego stosowana jest implikacja rozmyta inżynierska

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 11 Model rozmyty – złożeniowa zasada wnioskowania Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania  Jeżeli A’ jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A’ i R oznaczone jako A’  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y z funkcją przynależności  B’ (x,y) daną wzorem:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 12 Model rozmyty – złożeniowa zasada wnioskowania Możliwe realizacje:  Podejście formalne  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdani’ego Ograniczymy się w tym przedmiocie do podejścia uproszczonego – wnioskowania Mamdaniego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 13 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego Wnioskowanie Mamdani’ego – przypadek jednej zmiennej wejściowej 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez fakt: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia (wniosku) dla każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 14 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wnioskowanie Mamdani’ego Realizacja graficzna Przykład

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 15 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wnioskowanie Mamdani’ego Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Wartość lingwistyczna Element dziedziny 0123 Low OK High Przesłanek Wartość lingwistyczna Element dziedziny Low High Konkluzji Realizacja numeryczna

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 16 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wnioskowanie Mamdani’ego Mamy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (Raczej niski)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 17 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wnioskowanie Mamdani’ego 1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopni spełnienia przesłanek

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 18 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wnioskowanie Mamdani’ego 2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia (wniosków) dla poszczególnych reguł: Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia: Max Approximately Low - Raczej niska Uzyskany wynik Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wnioskowanie Mamdani’ego Wartość lingwistyczna Element dziedziny Low High

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 20 Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji Obliczanie wyjścia modelu rozmytego - wyostrzanie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 21 Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM),  metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)  metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA) Obliczanie wyjścia modelu rozmytego - wyostrzanie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 22 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego - wyostrzanie Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 23 Obliczanie wyjścia modelu rozmytego - wyostrzanie Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM) Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 24 Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana jest we wnioskowaniu Mamdani’ego, czyli w podejściu uproszczonym Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejście formalnym Obliczanie wyjścia modelu rozmytego - wyostrzanie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 25 Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low – Raczej niska Obliczanie wyjścia modelu rozmytego – wyostrzanie: przykład

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 26 Model Mamdani’ego – aproksymator Różne x 0  różne A’  różne B’  różne y’ Jeżeli X jest MAŁY TO Y jest MAŁY Jeżeli X jest ŚREDNI TO Y jest ŚREDNI Jeżeli X jest DUŻY TO Y jest DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości Przykład

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 27 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego Wnioskowanie Mamdani’ego – przypadek wielu zmiennych wejściowych Model lingwistyczny i proces wnioskowania Mamdani’ego z wykorzystaniem tego modelu przedstawiony został w ogólny sposób obejmujący przypadki SISO i MIMO Jednak Rozważane modele miały struktury obejmujące przypadki: - jedna przesłanka – jedna reguła - jedna przesłanka – wiele reguł Oznacza to, że w przypadku MIMO wszystkie zbiory rozmyte modelu rozważane były w jednej przestrzeni wektorowej z wielowymiarowymi funkcjami przynależności

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 28 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego Zwykle stwierdzenia przesłanek i stwierdzenia konkluzji formułowane są jako stwierdzenia wykorzystaniem funkcji przynależności jednej zmiennej Dla systemów MIMO: Potrzeba uogólnienia zaprezentowanych wyników na przypadek, kiedy funkcje przynależności występujące w stwierdzeniach są definiowane w przestrzeniach jednowymiarowych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 29 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego Można pokazać, że jako ogólną postać bazy reguł rozmytych można rozważać bazę składającą się z reguł o następującej jednolitej postaci: gdzie, A ij oraz B i są zbiorami rozmytymi w X j  R oraz Y  R Ponadto oraz x oraz y są nazywane odpowiednio wejściami i wyjściem systemu rozmytego ()() Taką bazę reguł nazywamy bazą w postaci koniunkcyjnej

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 30 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego Przypomnienie - wnioskowanie Mamdani’ego: przypadek SISO 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia poszczególnych reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia: Rozważana pojedyncza reguła ma postać a wejście systemu pytamy o wyjście systemu } Wymaga modyfikacji ! } Nie wymaga modyfikacji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 31 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł: Modyfikacja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 32 Przecięcie i oraz i - MIN Złożenie i - MIN Implikacja - MIN Przykład graficzny: Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego: przykład

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 33 dowolna s-norma (tutaj MAX) Przykład graficzny: Przecięcie i - MIN Złożenie - MIN Implikacja - MIN Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego: przykład

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 34 Podejście 1 Rule 1: IF x is A 1 and y is B 1 THEN z is C 1 Rule 2: IF x is A 2 and y is B 2 THEN z is C 2 Przecięcie - MIN, złożenie – MIN, implikacja – MIN, agregacja - MAX Wejście rozmyte - singleton Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego: przykład

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 35 Model rozmyty – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego: przykład Przykład graficzny: Rule 1: IF x is A 1 and y is B 1 THEN z is C 1 Rule 2: IF x is A 2 and y is B 2 THEN z is C 2 Przecięcie - PROD, złożenie – PROD, implikacja – PROD, agregacja - MAX Wejście rozmyte - singleton

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 36 Model Mamdaniego – aproksymator Przykład Jeżeli X jest MAŁY I Y jest MAŁY TO Z jest UJEMNY DUŻY Jeżeli X jest MAŁY I Y jest DUŻY TO Z jest UJEMNY MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest MAŁY TO Z jest DODATNI MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest DUŻY TO Z jest DODATNI DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy, struktury i wnioskowanie II 37 Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu