„MATEMATYKA JEST OK!”

Figury

Autorzy Piotr Lubelski Jakub Królikowski Zespół kierowany pod nadzorem mgr Joanny Karaś-Piłat

Spis Treści Figury: –Trójkąty –Prostokąty –Kwadraty –Równoległoboki –Romby –Trapezy –Koła –Okręgi –Twierdzenie Pitagorasa –Praktyczne zastosowanie wiedzy o figurach

Trójkąty Trójkąt - figura geometryczna o trzech niewspółliniowych wierzchołkach. Boki trójkąta to odcinki łączące wszystkie trzy pary wierzchołków. W przestrzeni płaskiej (euklidesowej) suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu. Aby powstał trójkąt musi być spełniony warunek: | b − c | < a < b + c

Trójkąty dzielimy ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary kątów. Przy podziale ze względu na boki wyróżniamy: –trójkąt różnoboczny (ma każdy bok innej długości) –trójkąt równoramienny (ma dwa boki tej samej długości) –trójkąt równoboczny ma (wszystkie trzy boki tej samej długości) Przy podziale ze względu na kąty wyróżniamy: –trójkąt ostrokątny, (którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre) –trójkąt prostokątny (to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (90° lub π/2), boki tworzące kąt prosty nazywamy przyprostokątnymi, pozostały bok to przeciwprostokątna) –trójkąt rozwartokątny, (którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty)

Przystawanie trójkątów Cechy przystawania trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były przystające. –I cecha przystawania trójkątów (bbb) –II cecha przystawania trójkątów (bkb) –III cecha przystawania trójkątów (kbk)

I cecha przystawania trójkątów (bbb) Jeśli wszystkie boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta to te trójkąty są przystające.

II cecha przystawania trójkątów (bkb) Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

III cecha przystawania trójkątów (kbk) Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Prostokąty Prostokąt to figura geometryczna - czworokąt o wszystkich kątach prostych. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat. Pole prostokąta o bokach długości a i b: P= a *b Obwód tego prostokąta: Obw. = 2(a + b)

Kwadraty Kwadrat to czworokąt foremny o równych bokach i przystających kątach (wszystkie kąty w kwadracie są proste). Kwadrat to szczególny przypadek prostokąta o wszystkich bokach równych a także rombu o wszystkich kątach równych. Przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość. Ich punkt przecięcia dzieli każdą z nich na dwie równe części. Punkt ten jest także środkiem symetrii kwadratu. Przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów. Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne, drugie dwie to symetralne boków. Każde dwa kwadraty są do siebie podobne.

Równoległoboki 1.Równoległobokiem nazywamy taki czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. 2.Własności -Przeciwległe boki są równe i równoległe AB||CD, AD||BC |AB| = |CD|, |AD| = |BC| -Suma dwóch kątów sąsiednich wynosi 180° -Przeciwległe kąty są równe -Przekątne dzielą się na połowy i wyznaczają punkt S, będący środkiem ciężkości równoległoboku -Punkt S jest środkiem symetrii równoległoboku -W równoległoboku można wyróżnić dwie różne wysokości -Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty -Na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie możne opisać okręgu i nie można też w niego wpisać okrąg

Równoległoboki- wzory Obwód równoległoboku Obw = 2a +2b = 2(a + b) Pole równoległoboku P=a*h a, b - boki równoległoboku h - wysokość Szczególnymi równoległobokami są: romb, prostokąt, kwadrat.

Romby Romb to czworokąt którego wszystkie boki mają tę samą długość. Każdy romb jest równoległobokiem. Przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Romb którego przekątne mają tę samą długość, jest kwadratem. Punkt przecięcia przekątnych rombu jest środkiem okręgu wpisanego, którego promień r jest połową jego wysokości. r=1/2h P=a*h=2a*r=d1*d2

Trapezy Trapez jest to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe nazywane są podstawami trapezu, pozostałe boki - ramionami trapezu. Jeżeli ramiona trapezu tworzą z jedną z podstaw takie same kąty, to taki trapez nazywa się trapezem równoramiennym. Jeżeli jedno z ramion jest prostopadłe do podstawy, to taki trapez nazywa się trapezem prostokątnym. Kwadrat i prostokąt są trapezami prostokątnymi.

Trapezy- Wzory Pole: Obwód: a, b- podstawy trapezu c, d- ramiona trapezu h- wysokość trapezu

Koła Koło – zbiór punktów płaszczyzny oddalonych nie bardziej niż o zadaną odległość (promień koła) od zadanego punktu na płaszczyźnie (środek koła). Inna definicja: koło jest to okrąg wraz z ograniczonym obszarem płaszczyzny wyciętym przez niego (okrąg jest brzegiem koła). obw=2 Л r P=Лr 2

Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości obu przyprostokątnych.

Figury podobne 1)Trójkąty są podobne jeśli: –mają 2 takie same kąty lub – 2 pary boków są proporcjonalne a zawarte między tymi bokami kąty są równe –mają odpowiednie 3 pary boków proporcjonalnych 2) Dwa wielokąty są podobne, jeśli mają odpowiednie kąty równe oraz ich odpowiednie boki są proporcjonalne. Figurami podobnymi są dowolne dwa niezerowe odcinki, okręgi, koła, n-kąty foremne, sfery, kule, wielościany foremne o takiej samej liczbie ścian itp. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Ćwiczenie 1 1.Wykaz ze 3-kat o bokach jest prostokątny a=3 b=4 c=5 Najdłuższy bok jest przeciwprostokątną, a zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: = =25 25=25

Ćwiczenie 2 Na szkolnej sali gimnastycznej należy namalować koło o promieniu 2m. Czy na namalowanie koła wystarczy czterokilogramowa puszka farby, jeśli na 1m 2 potrzeba 0,3 kg farby? Odp. 4kg farby wystarczy na pomalowanie koła Obliczamy pole powierzchni koła P=Лr 2 P= Л*4 P=12,57m Л [m 2 ] Obliczamy ile kilogramów farby potrzeba na namalowanie koła Na 1 m 2 potrzeba 0,3 kg Na 12,57m 2 potrzeba x[kg 2 ]

Ćwiczenie 3 Oblicz pole trapezu ABCD jeśli przyjmiesz, że |AB|=12cm, |CD|=0,08m, a wysokość stanowi 30% dłuższej podstawy. P=(12cm+8cm)*3,6cm/2 P=20cm*1,8cm P=36cm2 |AB|=12cm |CD|=8cm h=3,6cm

Ćwiczenie 4 Przekątna kwadratu ma długość 5cm. Oblicz pole kwadratu. a 2 +a 2 =5 2 2a 2 =5 2 | √ √2a=5 a= 5/√2 Obliczamy pole kwadratu: P=a2 P=(5/√2)2 =25/2=12+1/2 [cm2]

Koniec Dziękujemy za obejrzenie naszej prezentacji